Алгоритмическое выравнивание временного ряда

При алгоритмическом выравнивании (сглаживании) временного ряда не предполагается описание динамики неслучайной составляющей с помощью той или иной функции. Процедуры данного метода предоставляют исследователю лишь алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой заданный момент времени t. Методы сглаживания временных рядов с помощью скользящих средних относятся к этому подходу.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и поэтому служат важным инструментом исследования временных рядов. Метод скользящих средних основан на переходе от начальных значений временного ряда к их средним значениям (простым или взвешенным) на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда. Для усреднения могут быть использованы средняя арифметическая (простая и с некоторыми весами), медиана и др.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов.

1. Определяют длину интервала сглаживания к, включающего в себя к последовательных уровней ряда (k < n). При этом надо иметь в виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания.

2. Разбивают весь период наблюдений на отрезки с длиной интервала сглаживания, при этом интервал сглаживания «скользит» по ряду с шагом, равным единице.

3. Рассчитывают средние арифметические из уровней ряда, образующих каждый отрезок.

4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого отрезка, на соответствующие средние значения.

При этом удобно брать длину интервала сглаживания к в виде нечетного числа k = 2 p + 1, так как в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Пример 7.4. Провести сглаживание временного ряда y_t по данным примера 7.1 методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания k = 3 года.

Решение. Скользящие средние находим по формуле:

, (7.11)

когда k = 2 p + 1 – нечетное число; при k = 3 получаем p = 1.

По формуле (7.11) находим:

при t = 2

при t = 3

и т. д.

В результате получим сглаженный ряд:

t
	–	225,0	241,0	305,7	329,3	336,3	358,0	–

На рис. 7.7 этот ряд изображен графически в виде пунктирной линии. g