Рабочее задание. Целью настоящей работы является изучение и освоение студентами статистического метода анализа производственных погрешностей при исследовании рассеивания

Цель работы

Целью настоящей работы является изучение и освоение студентами статистического метода анализа производственных погрешностей при исследовании рассеивания параметров партии резисторов различных типономиналов.

1 Аппаратное обеспечение

1.1 Мультиметр M890G

Мультиметр M890G позволяет измерять величины электрического сопротивления в диапазоне от 10 до 10⁸ Ом с погрешностью, не превышающей 1%.

1.2 Партии резисторов МЛТ ±10% различных типономиналов, каждая из которых содержит не менее 100 образцов.

1.3 Компьютер с минимальными системными требованиями:

- Intel® Pentium® 4, AMD Athlon 64 или AMD Opteron;

- 1 Гб оперативной памяти;

- 2 Гб свободного места на жестком диске;

- клавиатура и мышь;

- разрешение экрана 1024 x 768 (768 x 1024 на планшетном ПК);

- DVD-дисковод.

2 Программное обеспечение

2.1 MS Office Excel 2007 или более поздняя версия, как среда разработки контрольно-измерительных приложений.

2.2 Операционная система Microsoft Windows XP SP3, 7.

Рабочее задание

1. По партии, содержащей 100 резисторов, типономинала, указанного в задании, выданном преподавателем, произвести измерение электрического сопротивления.

2. В соответствии с методикой, изложенной в настоящей работе, произвести обработку результатов экспериментального исследования статистическим методом и определить для контролируемых параметров математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение, степень соответствия теоретическому закону распределения погрешностей.

3. Проанализировать полученные результаты и ответить на поставленные вопросы.

4. Составить отчет о проделанной работе.

4 Методические указания.

Статистический метод анализа точности изготовления про­дукции основан на достаточно большом числе наблюдений и поз­воляет получить данные, характеризующие погрешность, которая возникает в результате взаимодействия ряда факторов, на осно­ве результатов измерения одной или нескольких партий изделий, полученных в определенных условиях. Таким образом, статичес­кий метод позволяет определить результирующую погрешность, но не дает возможности выявить зависимости (между различными погрешностями и причинами их возникновения).

Статистический метод анализа точности изготовления продукции в общем виде включает следующие этапы:

1. Выявление определяющего параметра, позволяющего оценить точность технологического процесса изготовления и объемаисследуемой партии изделий

2. Назначение средств измерений и измерение величин выходного параметра точности в ис­следуемой партии, группировка полученного при наблюдениях статистичес­кого материала.

3. Сводка результатов наблюдения и вычисления основных числовых характеристик распределения случайной величины М (х) и

4. Статистическая проверка гипотез о законе распределения

5. Анализ параметров распределения; сравнение по определенным критериям экспериментальных характеристик с заданными теоретическими.

4.1 Выявление определяющего параметра, позволяющего оценить точность технологического процесса изготовления и объема исследуемой партии изделий

Выявление параметра, определяющего точность технологического процесса, является достаточно сложной и самостоятельной задачей. Здесь важно подчеркнуть, что выбираемый параметр должен быть чувствителен к большинству технологических дефектов, возникающих в процессе производства, т.е. быть информативным и доступным для измерения с высокой точностью существующими средствами измерений.

На законы распределения производственных погрешностей существенно влияют условия возникновения этих погрешностей. Практика показывает, что в большинстве технологических автоматизированных процессов (изготовление резисторов, конденсаторов, транзисторов, микросхем и др.) производственные погрешности распределяются по нормальному закону.

Плотность вероятности (дифференциальная функция распре­деления) для непрерывной случайной величины, распределенной по закону Гаусса, представляется в следующем виде:

,

(1)

где φ(х) – плотность вероятности случайных величин Х;

М(х) – математическое ожидание (среднее арифметическое значение случайной величины Х);

σ – среднее квадратическое отклонение, являющееся мерой рассеивания отклонений.

Определение объема исследуемой партии изделий осуществляют следующим образом. Из общей совокупности объектов, называемой генеральной совокупностью извлекают n -объектов. Число n называют объемом выборки. Эти n объектов, которые образуют выборку, подвергают исследованию и по результатам описывают характеристи­ки всей генеральной совокупности. Необходимо иметь в виду, что из-за ограниченного числа объектов все числовые характе­ристики выборки n(в частности X и ) при неизменном ее объ­еме будут случайными величинами со своими распределениями. Поэтому количество изделий n, которое должна содержать вы­борка, зависит от точности, с которой желательно получить ха­рактеристики распределения.

Из математической статистики известно, что средняя квадратическая ошибка при определении среднего квадратического от­клонения , а при определении среднего арифметического . Таким образом, для получения с точностью, например , количество изделий в выборке определяется из соотношения , откуда n=200.

Когда количество изделий в выборке меньше 25, необходи­мо оценить степень точности и достоверности X и , полученных экспериментальным путем. В связи со сказанным при статистическом методе анали­за точности технологического процесса количество изделий в вы­борке задают не менее 100-200.

4.2 Назначение средств измерений и измерение величин выходного параметра точности в ис­следуемой партии

Чтобы исключить влияние погрешностей средств измерения на результаты статистического исследования контролируемого случайного параметра X, соотношение между предельными погрешностями измерения и допуском на определяемый параметр должно быть порядка 1:10.

Измерительные средства должны быть простыми в обращении, не требующими частой настройки. Необходимо тщательно соблюдать одни и те же условия проведения опытов и измерений. Для вычисления характеристик распределения погрешностей результаты измерений располагают в виде упорядоченного ряда в порядке их возрастания

,
где

Используя эти значения, находят размах варьирования:

(2)

4.3 Сводка результатов наблюдения и вычисления основных числовых характеристик распределения случайной величины М (х) и

При переходе к интервальному ряду количество интервалов r выбирают таким, чтобы на каждый интервал в среднем прихо­дилось не менее 10 значений из общего количества наблюдений исследуемого параметра, т.е. r=0,1n.

Ширина интервала выбирается из соотношения

,

(3)

где n- количество изделий в исследуемой партии.

При определении границ интервалов рекомендуется начинать ряд со значения, величина которого на 0,5 интервала меньше и заканчивать ряд величиной, которая превышает , также на 0,5 интервала. Результаты измерения представляются в виде таблицы 1.1

Количество изделий исследуемого параметра, попавших в тот или иной интервал, составляет частоту. Контроль правильности за­полнения этой графы проверяется при суммировании частот по всем интервалам. При этом сумма частот должна быть равна n.

Числовые характеристики экспериментального распределения определяют по формулам:

, (4,5)

Для большей наглядности представления экспериментального распределения погрешностей исследуемого параметра строят гис­тограмму и полигон распределения. Для построения гистограммы на оси абсцисс откладываются интервалы значений исследуемого параметра, над каждым из которых строится прямоугольник, площадь которого пропорциональна частоте (частости) попадания значений случайной величины в данный интервал. При этом вероятность попадания в заданный интервал:

При одинаковой ширине интервалов высоты прямоугольников пропор­циональны частоте. Построение гистограммы основано на предпо­ложении, что плотность частоты (частости) остается постоянной внутри каждого интервала. В качестве примера на рисунке 2 приведен график, иллюстрирующий гистограмму и полигон распределения погрешностей омического сопротивления партии резисторов типа МЛТ-0,2-130 Ом . Согласно маркировке резистора номинальное значение 130 Ом (координата середины поля допуска), а поля допуска от номинального значения, что составляет .На графике рисунка 2 отмечены: значение номинала, поля допуска относительно номинала, а также среднее значение X и границы поля рассеяния , отложенные от среднего значения и по­лученные экспериментальным путем.

Рисунок 1.5

4.4 Статистическая проверка гипотезы о законе распределения

Наиболее простое (качественное) представле­ние о большей или меньшей близости теоретического и эксперимен­тального (эмпирического) распределений дает графическое срав­нение полигонов и гистограмм с кривой распределения. Для количественной оценки соответствия экспериментального распределе­ния с теоретическим используют ряд критериев, из которых наи­большее практическое применение имеют критерий К.Пирсона и критерий А.Н.Колмогорова.

Рассмотрим процедуру проверки гипотезы о распределении по нормальному закону экспериментально полученных значений случайной величины с помощью критерия К.Пирсона .Проверка нормальности распределения согласно критерию If сводится к следующему:

4.4.1 Данные наблюдений группируют по интервалам, как при построении гистограммы, и подсчитывают частоты . Число интервалов выбирают в зависимости от объема выборки при:

100≤n≤=200 r=15-18; n=200 r=18-20; n=400 r=25-30.

4.4.2 Вычисляют по формулам (4) и (5) среднеарифметичес­кое значение и среднеквадратическое отклонение , которые принимаются в качестве параметров теоретического нормального распределения.

4.4.3 Для каждого интервала находят вероятности попадания в них результатов наблюдения либо по общей формуле (2.12.), либо приближенно как произведение плотности теоретического распре­деления в середине интервала на его длину:

(6)

Величина находится из выражения (1).

4.4.4 Для каждого интервала вычисляют величины

(7)

Суммируют по всем i и в результате получают меру расхождения

(8)

4.4.5 Определяют число степеней свободы:

Если некоторые интервалы были объединены, то число степеней свободы rсоответственно уменьшается.

Величина независимо от исходного распределения является случайной величиной с k степенями свободы. Следовательно, можно по заданной доверительной вероятности определить по специальным таблицам, приво­димым, например в [1], тот доверительный интервал [ ], в который мера расхождения может попасть по чисто случайным причинам. Здесь через q обозначен уровень значимости, под которым подразумевают вероятность того, что бу­дет отвергнута верная гипотеза. Обычно принимают q=0.10. Если вычисленная по опытным данным мера расхождения ока­жется в указанном интервале, то гипотеза о соответствии экспе­риментального закона распределения нормальному принимается, т.е. распределение результатов эксперимента считают нормаль­ным. Если же величина выходит за границы доверительного ин­тервала, то гипотеза отвергается как противоречащая опытным данным.

4.5 Анализ параметров распределения; сравнение по определенным критериям экспериментальных характеристик с заданными теоретическими.

4.5.1 Проанализировать степень соответствия поля рассеяния погрешностей величине поля допуска и его расположения. Сделать вывод о реальной точности изготовления резисторов.

4.5.2 В случае, если экспериментальное распределение погрешностей не отвечает нормальному закону распределения необходимо выяснить по каким причинам это могло произойти.

В приложении П2 приводятся методика вычисления параметров распределения и , а также проверки соответствия экспериментального распределения нормальному закону по критерию в EXCEL.

Приложение 1. Таблица с результатами измерений

Таблица 1.1 - Результаты измерений.

№	Граница интервалов	Середина интервалов	Частота
	от	до	X
.
.
.
p