Степенная парная регрессия относится к нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам. Однако она считается внутренне линейной, так как логарифмирование ее приводит к линейному виду. Таким образом, построению степенной модели
ŷx = a · xb
предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация позволяет использовать для определения параметров функции регрессии метод наименьших квадратов. При этом оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными.
Для этой цели проведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ = lga + b lgx.
Обозначим через Ŷ = lg ŷ; X = lgx; C = lga. Тогда уравнение примет вид:
Ŷ = C + b · X
Для расчета параметров С и b использованы соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а, следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными. Тогда
B=( - )/Sx2= (14,3232–3,6836·3,8614)/ 0,0516=1,9214;
C = - b · = 3,8614– 1,9214·3,6836= -3,2163.
Следовательно, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид:
Ŷ = -3,2163+1,9214·X.
Выполнив его потенцирование получим:
ŷ x = 10-3,2163x 1,9214 = 0,0061 x 1,9214
Весь предварительный расчет параметров степенной функции регрессии аналогично, как и для линейной, сведен в таблицу 2.2
Для расчета параметров С и b использованы соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а, следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными. Тогда
B = ( - )/Sx2 = (14,3232–3,6836·3,8614)/ 0,0516=1,9214;
C = - b · = 3,8614– 1,9214·3,6836= -3,2163.
Следовательно, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид:
Ŷ = -3,2163+1,9214·X.
Выполнив его потенцирование получим:
ŷ x = 10-3,2163x 1,9214 = 0,0061 x 1,9214
Таблица 2.2
№ | ||||||||
4,0063 | 4,3150 | 17,2873 | 16,0507 | 18,6191 | 30307,6141 | -9654,6141 | 93211573,1649 | |
3,9627 | 4,5918 | 18,1958 | 15,7030 | 21,0843 | 24986,6144 | 14076,3856 | 198144632,4640 | |
3,8553 | 4,1519 | 16,0071 | 14,8636 | 17,2384 | 15538,8431 | -1350,8431 | 1824777,0583 | |
3,8128 | 3,9688 | 15,1325 | 14,5378 | 15,7515 | 12875,8645 | -3568,8645 | 12736793,8038 | |
3,7825 | 4,0984 | 15,5025 | 14,3076 | 16,7972 | 11260,3895 | 1283,6105 | 1647655,9334 | |
3,7804 | 3,6133 | 13,6597 | 14,2913 | 13,0560 | 11153,5435 | -7048,5435 | 49681965,1505 | |
3,7784 | 3,9764 | 15,0247 | 14,2766 | 15,8121 | 11057,7998 | -1585,7998 | 2514761,0229 | |
3,7383 | 4,1223 | 15,4103 | 13,9749 | 16,9932 | 9258,7277 | 3993,2723 | 15946223,8487 | |
3,6854 | 4,0091 | 14,7751 | 13,5821 | 16,0730 | 7326,0141 | 2885,9859 | 8328914,3719 | |
3,6819 | 3,8542 | 14,1908 | 13,5562 | 14,8552 | 7213,1503 | -64,1503 | 4115,2575 | |
3,6343 | 4,0182 | 14,6033 | 13,2080 | 16,1459 | 5843,4454 | 4584,5546 | 21018140,8309 | |
3,6236 | 3,6773 | 13,3250 | 13,1302 | 13,5228 | 5572,8660 | -815,8660 | 665637,3124 | |
3,5825 | 3,8132 | 13,6608 | 12,8344 | 14,5403 | 4647,5185 | 1856,4815 | 3446523,4586 | |
3,5324 | 3,6577 | 12,9204 | 12,4777 | 13,3790 | 3722,8085 | 824,1915 | 679291,6516 | |
3,4998 | 3,5499 | 12,4239 | 12,2488 | 12,6015 | 3223,5426 | 323,4574 | 104624,7052 | |
2,9809 | 2,3655 | 7,0513 | 5,9618 | 5,5955 | 324,5569 | -92,5569 | 8566,7707 | |
- | - | - | - | - | - | - | - | |
Сумма | 58,9376 | 61,7831 | 229,1706 | 215,0048 | 242,0650 | 164313,2987 | 5646,7013 | 409964196,8053 |
Ср. знач. | 3,6836 | 3,8614 | 14,3232 | 13,4378 | 15,1291 | - | - | 25622762,3003 |
Sx2 , SY2 | 0,0516 | 0,2183 | - | - | - | - | - | - |
Sx, SY | 0,2272 | 0,4672 | - | - | - | - | - | - |
Подставляя в данное уравнение фактические значения x, получаем теоретическое значение ŷx. Эти значения приведены в таблице 2.2.