Расчет параметров линейной парной регрессии

Парная линейная регрессия имеет вид:

ŷ_x = a + b · x,

где ŷ_x – результативный признак, характеризующий теоретический пассажирооборот железнодорожных перевозок;

x – фактор (длина железной дороги);

a, b – параметры, подлежащие определению.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. Он позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (пассажирооборот железнодорожных перевозок) y от теоретических ŷ_x будет минимальной. В этом случае для определения параметров a и b линейной регрессии необходимо решить следующую систему уравнений:

n·a + b(x_{1 +} x_{2 +...... +} x₁₆) = y_{1 +} y_{2 +.... +} y₁₆

a(x_{1 +} x_{2 +... +} x₁₆₎ + b(x₁² ₊ x₂² _{+... +} x₁₆²) = y₁x₁₊ y₂x_2+...+ y₁₆x_16.

С учетом обозначений

= (y_{1 +} y_{2 +.... +} y₁₆)/16_; = (x_{1 +} x_{2 +...... +} x₁₆)/16_;

= (y₁x₁₊ y₂x_2+.....+ y₁₆ x₁₆)/16_;

= (x₁² ₊ x₂² _{+...... +} x₁₆)/16; S_x² = – ²

значения параметров линейной регрессии вычисляются по формулам:

b = ( - )/ S_x² = (72561475,7500–

10622,5000* 5379,5625)/ 4801346,9961= 3,2110

a = - b = 10622,5000- 3,2110* 5379,5625= -6651,2168

На основании исходных данных выполнены расчеты сумм приведенной системы уравнений, теоретических значений функции регрессии, разности функции регрессии и опытных значений, а так же ошибки аппроксимации, которые представлены в таблице 2.1

Таблица 2.1

№
						25930,6901	5277,6901
						22816,0306	16246,9694
						16361,9424	2173,9424
						14217,0017	4910,0017
						12810,5884	-266,5884
						12714,2587	8609,2587
						12627,5620	3155,5620
						10925,7378	2326,2622
						8909,2366	1302,7634
						8784,0080	1635,0080
						7181,7244	3246,2756
						6844,5706	2087,5706
						5627,6057	876,3943
						4288,6232	258,3768
						3498,7199	48,2801
						-3578,3002	3810,3002
		-	-	-	-	-	-
Сумма
Ср. знач.	5379,5625	10622,5000	72561475,7500	33741039,6875	190143678,5000	-	-
Sx2 , Sy2	4801346,9961	77306172,2500	-	-	-	-	-
Sx, Sy	2191,1976	8792,3929	-	-	-	-	-

Тогда уравнение регрессии, являющееся линейной моделью пассажирооборота железнодорожных перевозок в зависимости от длины дороги примет вид:

ŷ_x = -6651,2168+ 3,2110· x