Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида:
.
Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, ,
где , , , - заданные постоянные величины.
Некоторые частные случаи дифференциальных уравнений второго порядка легко приводятся к уравнениям первого порядка.
1. Левая часть уравнения не содержит и :
. (20)
В этом случае пользуемся тождеством .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение.
,
,
,
- общий интеграл.
Ответ: .
2. Левая часть уравнения не содержит :
. (21)
В этом случае пользуемся заменой .
Пример 6. Решить уравнение .
Решение. Произведем замену , тогда и данное уравнение обращается в уравнение первого порядка:
- линейное уравнение.
Воспользовавшись заменой , будем иметь:
,
,
,
,
,
,
тогда
,
,
,
.
Произведем обратную замену:
,
.
,
- общий интеграл.
Ответ: .
3. Левая часть уравнения не содержит :
. (22)
В этом случае полагаем , тогда .
Пример 7. Решить уравнение .
|
|
Решение. Сделаем замену , тогда .
,
,
,
,
,
.
Сделаем обратную замену:
,
,
.
В силу произвольности констант и
или
- общее решение.
Ответ: .