Теперь мы введем специальный формализм для фиксации процесса осознания. Для этого мы должны найти формальный способ изображения перехода от выражения (1) к выражению (2), от выражения (2) к выражению (3) и т.д.
Многочлены, которые были введены, существенно отличаются от «обычных» многочленов с вещественными коэффициентами. Поэтому необходимо строго ввести тот.алгебраический объект, с которым мы будем иметь дело в дальнейшем. Исходными для построения формализма (для трех персонажей) являются символы х, у, z, Т и 1. Из этих символов составляются слова — конечные последовательности символов, например, х, ху, Тх, хуz и т.д. - Два слова считаются эквивалентными, если они отличаются только числом вхождения в них символа 1 (например, хху=хху). Таким образом, символ 1 можно вычеркивать из слов.*
Условимся пока рассматривать слова, не содержащие символа Т. Множество всех таких слов счетно. Перенумеруем их некоторым произвольным образом. Получим последовательность ai. Теперь мы можем ввести понятие многочлена.
|
|
Многочленом мы будем называть символическую сумму
где ai—элемент булевой алгебры, состоящей из двух элементов 0 и 1.
При заданной нумерации ai многочлен однозначно задается набором коэффициентов ai. Условимся в дальнейшем выписывать лишь те члены, коэффициенты перед которыми равны 1. Необходимо обратить внимание на отличие многочлена от отдельного слова. Если мы пишем, например, со==1, то это значит, что рассматривается многочлен:
1+ å(0ai) в котором только перед ai=l
i= 2
коэффициент отличен от нуля.
Теперь можно ввести операции сложения и умножения многочленов. Они вводятся так же, как и операции над «обычными» многочленами, с той лишь существенной разницей, что умножение оказывается некоммутативным. Нетрудно видеть, что умножение ассоциативно и выполняются правый и левый законы дистрибутивности:
w1(w2+w3)=w1w2+w1w3
w2+w3)w1=w1w2+w3w1
Каждому многочлену сопоставим в соответствие специфический многочлен Q=Tw. Многочлены и, как мы показали раньше, позволяют изображать состояния рефлексирующих систем, а многочлены w будут интерпретированы как операторы осознания.
Теперь мы можем выразить на алгебраическом языке процедуры превращения картинки на рис. 1 в картинку на рис. 2 и т.д. Для этого необходимо многочлен Т, выражающий содержание картинки на рис. 1, умножить справа на многочлен 1+х. Результатом такого умножения будет многочлен
Q'1=T(l+x)==T+Tx. (1')
Чтобы перейти далее к состоянию Q2. многочлен Q1 ну жно опять-таки справа умножить на многочлен 1 +у:
Q2=Т(1+х)(1+у)=Т+Тх+(Т+Тх)у. (2') расстояние Оз порождается умножением Q2 на 1+z:
Q3=T(l+x)(l+y)(l+z)=T+Tx+(T+Tx)y+[Т+Тх+(Т+Тх)у]z. (3')
|
|
Таким образом, той процедуре осознания, которую мы изобразили графически (она представляет собой схематизацию естественно-интуитивного понимания рефлексии), соответствует теперь алгебраическая операция умножения многочлена на многочлены 1 +х, 1+у, 1+z.
Мы только что описали случай, когда персонажи производят осознание последовательно. Но легко изобразить и случай, когда осознание производят все три персонажа Одновременно. Оператор осознания будет таким: w=1+ х+у+z, а эволюция многочлена, характеризующего состояния рефлексирующих систем, выразится соотношением Qn==T(1 +x+y+z)n, где п— число осознаний. Подобное изображение процессов осознания значительно расширяет возможности исследования более сложных типов осознания, которые уже практически невыразимы в естественном и графическом языке.