Решение. 1. Определяем круговую частоту вращения ротора двигателя

Рис.2.

1. Определяем круговую частоту вращения ротора двигателя: . Максимальное значение силы инерции, возникающей из-за неуравновешенности ротора: .

Выпишем из сортамента необходимые геометрические характеристики сечения составленного из двух швеллеров №14: момент инерции сечения - ; момент сопротивления сечения - .

2. Чтобы определить жесткость конструкции в точке крепления двигателя по вертикали и вести дальнейшие расчеты, необходимо раскрыть статическую неопределимость заданной конструкции. Раскрывать статическую неопределимость раскроем по методу сил. Для раскрытия статической неопределимости можно заменить двигатель его статической силой веса: . На рис.2 показаны реакции опор, для удобства и наглядности дальнейших расчетов схема показана в масштабе, все размеры выражены через , .

а). Определим степень статической неопределимости заданной конструкции - . Для заданной плоской конструкции (которая находится под действием произвольной плоской системы сил) можно составить 3 уравнения статики (равновесия). Имеется 4 неизвестных составляющих реакций. Следовательно, степень статической неопределимости рассматриваемой конструкции: .

Рис.3. Основная система.

б). Для раскрытия статической неопределимости отбросим лишних связей и образуем основную систему, показанную на рис.3.

Заменяя отброшенную связь соответствующей лишней неизвестной (по существу являющейся реакцией опоры D) получим эквивалентную систему (статически эквивалентная исходной статически неопределимой), эквивалентная система показана на рис.4. Каноническое уравнение метода сил один раз статически неопределимой системы имеет вид: , откуда лишнее неизвестное выразится в виде (1).

Рис.4. Эквивалентная система.

в). Для определения коэффициентов канонического уравнения необходимо рассмотреть два состояния основной системы: единичное и грузовое. Рассматривая

эти состояния достаточно построить только эпюры изгибающих моментов, так как влиянием на перемещения оставшихся силовых факторов (нормальной и перерезывающей сил) можно пренебречь, в силу малости их по сравнению с перемещениями от изгиба. Грузовое и единичное состояния показаны соответственно на рис.5а и рис.5б.

Рис.5а. Грузовое состояние основной системы.	Рис.5б. Единичное состояние основной системы.

Для удобства реакции грузового состояния обозначены нижним индексом - , а единичного состояния обозначены верхней чертой.

Сначала рассмотрим грузовое состояние, определим реакции опор: из уравнения равновесия сразу следует, что горизонтальная реакция в опоре А ; из уравнения равновесия следует ; из уравнения равновесия следует .

При определении изгибающих моментов в сечениях используем метод сечений (других методов собственно и нет):

в пределах каждого из участков стержневой конструкции (балки, рамы) проводим одно произвольное поперечное сечение (на произвольном расстоянии от начала участка), которое должно делить конструкцию на две части; одну из частей конструкции отбрасываем, заменяя ее действие на оставшуюся часть искомыми силовыми факторами (в нашем случае изгибающим моментом); величину и направление силовых факторов в сечении определяем из условий равновесия оставшейся части, в случае изгибающего момента уравнение равновесия - , где моментной точкой является центр тяжести рассматриваемого поперечного сечения.

При построении эпюр изгибающего момента учтем, что при отсутствии распределенной нагрузки эпюры на всех участках будут линейными, поэтому при построения эпюр достаточно для каждого участка вычислить значение изгибающего момента в начале и в конце участка:

Рис.6а

Участок АВ. (см. рис.6а):

Сечение А () - ; сечение В () - , сжаты верхние волокна.

Рис.6б

Участок ВС (см. рис.6б):

Сечение В () - , сжаты правые волокна; сечение С () - , сжаты правые волокна.

Рис.6в

Участок СD (см. рис.6в): Сечение D () - ; сечение C () - сжаты верхние волокна.

Аналогично рассмотрим единичное состояние, реакции опор: из уравнения равновесия следует ; из уравнения равновесия следует ; из уравнения равновесия следует .

Эпюры изгибающего момента единичного состояния строим, так же как и для грузового состояния.

Рис.6г

Участок АВ (см. рис.6г):

Сечение А () - ; сечение В () - , сжаты верхние волокна.

Рис.6д

Участок ВС (см. рис.6д):

Сечение В () - , сжаты правые волокна; сечение С () - ,

Рис.6е

сжаты левые волокна.

Участок СD (см. рис.6е):

Сечение C () - , сжаты нижние волокна; сечение D () - .

Эпюры изгибающих моментов для грузового и единичного состояний представлены соответственно на рис.7а и рис.7б, на эпюрах показаны также значения моментов посередине участков, необходимые для перемножения эпюр при определении перемещений энергетическим методом.

Рис.7а. Эпюра изгибающего момента грузового состояния.	Рис.7б. Эпюра изгибающего момента единичного состояния.

Коэффициенты канонического уравнения являются перемещениями отброшенной связи (по горизонтали в опоре В), и могут быть определены энергетическим методом, как например, перемножение эпюр по формуле Карнаухова-Симпсона. Так коэффициент получается перемножением единичной эпюры самой на себя - Соответственно, коэффициент получается перемножением единичной эпюры на эпюру грузового момента - Тогда из выражения (1) получим . Знак «-» означает, что действительное направление противоположно принятому сначала. Таким образом, статическая неопределимость раскрыта.

г). Теперь можно построить эпюру изгибающего момента - возникающего в исходной (статически неопределимой) системе от статического действия веса двигателя. Эта эпюра потребуется в дальнейшем, как для определения напряжений, так и для определения перемещений. Эту эпюру следует строить для эквивалентной системы, см. рис.4, в которой по определению все деформации и внутренние силы такие же, как и в исходной системе. Эквивалентная система является статически определимой, к тому же после раскрытия статической неопределимости все внешние нагрузки, действующие на нее известны, поэтому можно строить эпюру как обычно методом сил. Однако, рациональнее получить эту эпюру используя метод суперпозиции нагрузок. Действительно, уже имеются эпюры изгибающего момента для основной системы от действия по отдельности веса двигателя - (рис.7а); и от действия единичной силы приложенной по направлению лишней неизвестной - (рис.7б). Тогда по принципу суперпозиции нагрузок для эквивалентной системы эпюра изгибающего момента может быть описана уравнением . В данном случае операция умножения эпюры на число означает, что все значения этой эпюры умножаются на это число, операция сложения означает, что значения складываемых эпюр в одних и тех же сечениях складываются. Для построения результирующих эпюр умножать и суммировать значения достаточно только для тех сечений, по которым эпюра может быть построена.

Рис.8. Эпюра .

На рис.8 показана эпюра . При ее построении учтено, что при умножении на отрицательное число значение получаемой эпюры изгибающего момента откладывается на волокнах противоположных тем, на которых построена исходная эпюра. Складывая эту эпюру с (рис. 7а), окончательно получаем , смотри рис.9.

Рис.9. Эпюра .

д). Далее определяем перемещение по вертикали сечения, в котором установлен двигатель, от статического действия вертикальной силы тяжести Q двигателя - . Перемещение снова определяем энергетическим методом, используя формулу Карнаухова-Симпсона. Эпюра грузового состояния уже построена, необходимо построить эпюру единичного изгибающего момента, для этого по направлению искомого перемещения прикладываем единичную силу и от ее действия строим эпюру изгибающего момента. Единичное состояние снова рационально рассматривать не для исходной системы, а для эквивалентной системы, в этом случае не придется раскрывать статическую неопределимость. Единичное состояние для определения показано на рис.10а. Так как, это состояние отличается от грузового состояния основной системы рассмотренного ранее (см. рис.5а) только величиной нагрузки, то согласно закону Гука и эпюра моментов единичного состояния будет отличаться от эпюры (см. рис.7а) на множитель . Единичная эпюра для определения показана на рис.10б.

Рис.10а. Единичное состояние для определения .	Рис.10б.Эпюра .

Перемножая эпюры, получим искомое перемещение:

Подставляя значения: .

е). Жесткость конструкции в точке крепления двигателя по вертикали .

3. Окончательно собственная частота колебаний (по вертикали) заданной конструкции определится по известной формуле для упругой системы с одной степенью свободы: .

Коэффициент динамичности неуравновешенной силы инерции (возникающей при вращении ротора двигателя) при этом будет равен: , знак «-» здесь означает, что перемещения и сила инерции изменяются в противофазе.

Значение коэффициента динамичности само по себе достаточно велико, то есть сила инерции при вращении двигателя (динамически приложенная) будет: , однако даже при такой нагрузке условие прочности и жесткости конструкции могут выполняться, что не сложно проверить соответствующим расчетом. Однако, опасность заключается в том, что при незначительных изменениях параметров (частоты вращения, массы двигателя, жесткости конструкции…) коэффициент динамичности может возрасти очень сильно, например если под нагрузкой частота вращения двигателя упадет всего на 3%, то динамическая сила инерции вырастет более чем в 2 раза. Связано это с близостью состояния системы к резонансу - Такое состояние системы и называют динамически неустойчивым (то есть чувствительным к малым изменениям параметров) и считают недопустимым.

Чтобы обеспечить динамическую устойчивость, снизим частоту собственных колебаний за счет дополнительной сосредоточенной массы прикрепленной к конструкции в месте крепления двигателя. Из условия динамической устойчивости собственная частота должна быть не больше чем . Тогда суммарная сосредоточенная масса . Величина дополнительной массы при этом составит .

Коэффициент динамичности силы инерции при этом будет равен: .

4. Определим максимальные напряжения, возникающие в конструкции при установившихся вынужденных колебаниях. Учитывать будем только напряжения изгиба, напряжениями от нормальной и перерезывающей силы пренебрежем в силу их малости. На конструкцию будут действовать две вертикальные силы, приложенные в одной точке: статическая сила веса суммарной массы двигателя и дополнительной массы - ; и динамически приложенная (переменная) сила инерции вращения неуравновешенного ротора - . Наибольшие напряжения возникнут в конструкции, когда эти две силы совпадут по направлению, следовательно, достаточно рассмотреть нагружение конструкции одной суммарной силой - . Так как это нагружение отличается от ранее рассмотренного нагружения весом Q (см. рис.2) только величиной нагрузки, то по закону Гука все внутренние силы, в том числе и изгибающие моменты, будут отличаться в раз. Другими словами, эпюра изгибающего момента для заданной конструкции от действия силы , получится умножением - , эпюра показана на рис.11.

По эпюре определяем опасное сечение, им будет сечение в узле С, где возникает максимальный по модулю момент:

.

Рис.11. Эпюра .

Максимальные напряжения изгиба .

5. Определим максимальные нормальные напряжения в конструкции при монтаже двигателя. Считая, что двигатель при монтаже может упасть с высоты ,при расчете напряжений в момент удара следует учитывать две нагрузки: статический вес сосредоточенной дополнительной массы ; динамически приложенную силу веса падающего двигателя .

Коэффициент динамичности определим по формуле для удара вертикально падающим грузом - , где: - прогиб от статического действия груза, ; - скорость движения груза и дополнительной сосредоточенной массы в момент начала удара. Двигатель к моменту соприкосновения с закрепленной на конструкции сосредоточенной дополнительной массой будет иметь скорость , при соприкосновении с неподвижной сосредоточенной массой их скорость станет одинаковой и на основании закона сохранения количества движения равной . Окончательно коэффициент динамичности , а динамически приложенный вес падающего двигателя .

Результирующая максимальная нагрузка при ударе . Так как нагружение конструкции при ударе падающим двигателем отличается от нагружения при установившихся вынужденных колебаниях только величиной нагрузки, то максимальные напряжения при ударе отличаются от максимальных напряжений при колебаниях в раз. Следовательно, максимальные напряжения при ударе падающим двигателем будут равны - .