Погрешности основных арифметических операций

Правило 1: Пусть и — приближенные значения чисел и , тогда абсолютная погрешность алгебраической суммы (суммы или разности) не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых, т.е.[1]:

Правило 2: Пусть и — ненулевые числа одного знака, тогда:

1. ; 2. .

Здесь , а [1].

Первое из равенств означает, что при суммировании чисел одного знака не происходит потери точности, если оценивать точность в относительных единицах. Совсем иначе обстоит дело при вычитании чисел одного знака. Здесь граница относительной ошибки возрастает в раз и возможна существенная потеря точности. Если числа и близки настолько, что ,то и не исключена полная или почти полная потеря точности. Когда это происходит, говорят о катастрофической потери точности.

При построении численного метода решения задачи следует избегать вычитания близких чисел одного знака. Если же такое вычитание неизбежно, то следует вычислять аргументы с повышенной точностью, учитывая ее потерю примерно раз.

Правило 3: Для относительных погрешностей произведения и частного приближенных чисел верны оценки:

1. ;

2. ;

в последней из которых [1].

Приведенные равенства чаще всего используют для практической оценки погрешности.

Выполнение арифметических операций над приближенными числами, как правило, сопровождается потерей точности. Единственная операция, при которой потеря не происходит, — это сложение чисел одного знака. Наибольшая потеря точности может произойти при вычитании близких чисел одного знака.