Правило Лопиталя - Бернулли
При исследовании функций может появиться необходимость нахождения предела дроби , числитель и знаменатель которой при х—>а стремятся к нулю или бесконечности. Нахождение таких пределов называют раскрытием неопределенностей соответствующего вида. Основой его является правило Лопиталя - Бернулли, выражаемое следующей теоремой.
Теорема 1.1.
Если функции и дифференцируемы в окрестности точки х = а, обращаются в нуль в этой точке и существует предел отношения при х—>а, то существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных:
(1)
Доказательство.
Пусть точка принадлежит интервалу, в котором функции дифференцируемы. По теореме Коши
где с лежит между х и а.
По условию , поэтому
Если х—>а, то и с—>а, так как с заключено между х и а. Переходя к пределу в последнем равенстве, получаем
откуда и следует формула (1).