Теоретическая часть. Тема: Решение систем линейных уравнений в Microsoft Excel

Лабораторная работа 3

Тема: Решение систем линейных уравнений в Microsoft Excel.

Цель: научится решать системы линейных уравнений

- Методом обратной матрицы;

- Методом Крамера.

Теоретическая часть

Система n линейных уравнений с n неизвестными

Пусть дана линейная система n уравнений с n неизвестными, где a_ij, b_i (і =1,2,…, n; j = 1,2,…, j = 1,2,…,n):

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +…+ a_1nx_n = b₁,

a₂₁x₂ + a₂₂x₂ +…+ a_2nx_n = b₂, (3.1)

……………………………..,

a_n1x₁ + a_n2x₂ +…+ a_nnx_n = b_n.

Такая запись называется системой линейных уравнений в нормальной форме. Решением таких систем называется такая совокупность n чисел (x₁ = k₁, x₂ = k₂,…, x_n = k_n), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Систему можно также записать в виде матричного уравнения:

А*Х=В (3.2)

где А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы:

a₁₁ a₁₂ … a_1n

a₁₂ a₂₂ … a_2n

A = …………….

a_n1 a_n2 … a_nn

X – матрица-столбец (вектор) неизвестных:

x₁

x₂

Х = …

x_n

В – матрица-столбец (вектор) свободных членов;

b₁

b₂

B = …

b_n

В развернутом виде систему (3.2) можно представить следующим образом:

a₁₁ a₁₂ … a_1n x₁ b₁

a₂₁ a₂₂ … a_2n x₂ b₂

…………….. * … = …

a_n1 a_n2 … a_nn x_n b_n

Существует ряд методов решения системы линейных уравнений: метод обратной матрицы, методы Крамера, метод Гаусса и т.д.

Рассмотрим решение системы в общем виде (метод обратной матрицы).

Будем считать, что квадратная матрица А является невырожденной, то есть ее определитель D ≠ 0. В этом случае существует обратная матрица А^-1.

Умножая слева обе части матричного равенства (3.2) на обратную матрицу А^-1, получим:

А^-1 *А* Х = А^{-1 *} В, Е * Х = А^-1* В

Е * Х = Х,

отсюда решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец

Х = А^-1 * В. (3.3)

Таким образом, для решения системы (3.1) - нахождения вектора Х, необходимо найти обратную матрицу коэффициентов и умножить ее справа на вектор свободных членов.

Пример 3.1. Решение системы методом обратной матрицы.

Пусть необходимо решить систему:

3x + 2y = 7,

4x - 5y = 40.