Лабораторная работа №4. Исследование методов цифровой фильтрации сигналов

Исследование методов цифровой фильтрации сигналов

4.1. Краткие теоретические сведения

Фильтрация представляет собой одну из самых распространенных операций обработки сигналов. Цель фильтрации состоит в подавлении помех, содержащихся в сигнале, или в выделении отдельных составляющих сигнала, соответствующего тем или иным свойствам исследуемого процесса.

В электрических и электронных измерительных устройствах уже давно находят применение различные типы RLC - фильтров. С появлением доступных и дешевых интегральных операционных усилителей получили широкое распространение активные фильтры. Прогресс в развитии цифровых интегральных схем, повсеместное применение микропроцессоров для цифровой обработки измерительной информации обусловили интерес разработчиков аппаратуры к цифровым фильтрам.

Фильтрация сигнала – это целенаправленное изменение соотношения между различными компонентами спектра сигнала. Как известно, спектр сигнала, получаемого на выходе линейной цепи, Y(f), равен произведению входного спектра X(f) и частотной характеристики (ЧХ) цепи G(f):

Y(f)= X(f) G(f). (4.1)

На практике разложение сигнала в спектр и обратно занимает довольно большое время, поэтому рассмотрим теперь соотношения, позволяющие непосредственно находить временное описание сигнала. Как известно, спектр d-импульса равен единице. Если такой d-импульс подать на вход линейной цепи, то тогда X(f)=1 и в соответствии с формулой (4.1) получим:

Y(f)=G(f). (4.2)

Таким образом, ЧХ цепи можно найти как спектр выходного сигнала цепи при подаче на ее вход d-импульса. Реакция цепи g(t) на d-импульс носит название импульсной характеристики (ИХ). В соответствии с (4.2) спектр этой функции равен ЧХ цепи. Отсюда следует, что импульсная и частотная характеристики линейной цепи связаны между собой парой преобразований Фурье:

(4.3)

(4.4)

В соответствии с теоремой свертки перемножение спектров соответствует свертке функций во временной области. Поэтому из равенства (4.1), определяющего спектр сигнала на выходе линейной цепи, следует, что выходной сигнал цепи может быть найден в виде свертки входного сигнала и импульсной характеристики цепи:

, (4.5)

где * - знак свертки.

Последнее соотношение показывает, что функция g(t) определяет веса, с которыми входят в выходной сигнал y(t) различные мгновенные значения входного сигнала x(t). Поэтому импульсную характеристику часто называют весовой функцией (ВФ).

Итак, динамические свойства линейной цепи (в том числе и цифровых фильтров) полностью определяются одной из двух характеристик: частотной характеристикой или импульсной. Одна из них может быть найдена из другой по формулам преобразования Фурье (4.3) и (4.4).

Если ИХ фильтра будет дискретной, то такие фильтры можно построить на цифровых элементах. Дискретную ИХ нерекурсивных фильтров g(n) находят путем дискретного преобразования Фурье из дискретной ЧХ G(k):

(4.6)

ЧХ фильтра, построенного по формуле (4.6), гарантированно будет проходить через точки заданной ЧХ G(k). Однако между этими точками совпадение желаемой и реальной частотных характеристик не гарантируется.

На практике дискретный сигнал s(n) фильтруют путем дискретной свертки самого сигнала и ИХ фильтра g(n):

(4.7)

Эта операция занимает минимум вычислений. Однако анализ работы фильтров гораздо удобнее производить в частотной области.

Наибольшее распространение получили фильтры с четной ИХ. Они не вносят фазового сдвига в результирующий сигнал и их можно разложить в вещественный ряд косинусоид, что значительно облегчает их расчет.

4.2. Объект исследования

Для расчета дискретных цифровых фильтров используется программа filters.exe. Для запуска программы необходима ЭВМ IBM РС со стандартной конфигурацией. В текущем каталоге должен быть расположен драйвер видеоадаптера фирмы Borland (например, EGA, VGA.BGI).

Если на компьютере установлена операционная система WINDOWS XP, то необходимо воспользоваться командами: Программы/Командная строка/Filter.exe.

При запуске программы в диалоговом режиме необходимо ввести следующие входные данные:

· Частота дискретизации Fdiskr фильтруемого сигнала. От этой величины зависит полоса частот, на которой задается АЧХ фильтра. В соответствии с теоремой Котельникова ширина этой полосы от 0 до Fdiskr/2 Гц.

· Количество элементов N импульсной характеристики проектируемого фильтра. Это число должно быть нечетным и находиться в пределах от 3 до 4001 (верхняя граница зависит от количества свободной оперативной памяти). Чем выше значение N, тем выше порядок проектируемого фильтра.

· Значения АЧХ G(f) проектируемого фильтра. Шаг дискретизации Df зависит от частоты дискретизации сигнала и количества элементов N и определяется программой автоматически.

Выходные данные:

· Изображение требуемой АЧХ фильтра.

· Изображение АЧХ фильтра, который был рассчитан программой. Этот график строится по дискретному аналогу формулы (4.4). Для выявления характера кривой АЧХ вне заданных точек G(k) программа расширяет время наблюдения найденной ИХ g(n), путем дополнения ее нулями, что согласно свойствам дискретного спектра позволяет уменьшить частоту дискретизации графика АЧХ.

· Значения элементов ИХ проектируемого фильтра.

Пример: требуется рассчитать ФНЧ для сигнала с частотой дискретизации 200 Гц и с частотой среза 50 Гц. Следовательно, значения ЧХ фильтра G(f) будут принимать значения 1 в полосе пропускания фильтра (т.е. когда 0<f<50 Гц), и 0 в полосе задержания фильтра (когда f>50 Гц).

Пусть число элементов ИХ фильтра N=15. На запросы программы вводим:

Fdiskr=200 (это частота дискретизации нашего сигнала); N=15 (число элементов ИХ фильтра);

G[0]=1

G[14]=1

G[28]=1

G[42]=1

G[57]=0.5

G[71]=0

G[85]=0

G[100]=0,

где 0, 14, 28, 42 и т.д. – отсчеты частот f, на которых должна задаваться АЧХ фильтра (рассчитываются программой);

значения G[F]=1 характеризуют полосу пропускания фильтра, а значения G[F]=0 характеризуют полосу задержания фильтра (вводятся пользователем).

В результате работы программы изображаются графики заданной и реальной АЧХ (Рис. 4.1).

Рисунок 4.1. Идеальная и реальная АЧХ НЧ фильтра

Далее на экран выводятся элементы ИХ фильтра, которые вычисляются программой по формуле (4.6) из заданной АЧХ G(k). В нашем случае они равны [ -0.07 -0.19 0.5 0.36 -1.3 -0.47 4.68 8 4.68 -0.47 -1.3 0.36 0.5 -0.19 -0.07].

4.3. Цель работы

Изучить методы синтеза цифровых фильтров и эффективность их применения.

4.4. Содержание работы и порядокее выполнения

1. Получите у преподавателя задание на проектирование цифрового фильтра: АЧХ и порядок.

2. С помощью программы MODEL получите тестовый сигнал, в спектре которого присутствуют составляющие, лежащие как в полосе пропускания, так и в полосе задержания цифрового фильтра.

3. С помощью программы FILTERS.EXE получите коэффициенты цифрового фильтра.

4. Составьте схему алгоритма и программу цифровой фильтрации полученным в п. 3 цифровым фильтром тестового сигнала, созданного в п.2.

5. Запустите полученную в п. 4 программу, подав на ее вход файл данных, полученный в п. 2. Сравните сигналы на входе и на выходе.

4.5. Содержание отчета

1. АЧХ и коэффициенты разработанного цифрового фильтра.

2. Спектральный состав и графическое изображение тестового сигнала.

3. Графическое изображение тестового сигнала после фильтрации.

4. Изображения реального сигнала до и после фильтрации.

5. Анализ спектрального состава реального сигнала, помех, присутствующих в нем, их спектра.

6. Выводы по эффективности цифровой фильтрации.

4.6. Вопросы для самопроверки

1. В чем состоят основные преимущества и недостатки цифровых фильтров?

2. Изобразите структурную схему цифровой обработки сигнала. Поясните этапы преобразования сигнала.

3. Какие методы математического описания и аппараты анализа дискретных сигналов и цепей Вы знаете?

4. Как выражается прямое (ДПФ) и обратное (ОДПФ) дискретные преобразования Фурье?

5. Как связаны коэффициенты ДПФ последовательности конечной длины с z-преобразованием этой последовательности?

5. Как связаны коэффициенты ДПФ последовательности конечной длины с ее непрерывным частотным спектром?

7. Как определяется линейная дискретная цепь с постоянными параметрами (ЛДЦПП)?

8. Что понимается под импульсной характеристикой g (п) ЦФ?

9. Что понимается под системной функцией Н (z) цифрового фильтра? Как выражается системная функция через импульсную характеристику и элементы схемы фильтра?

10. Как определить устойчивость ЦФ по его системной функции?

11. Что понимается под частотной характеристикой ЦФ? Что отличает ее от частотной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа?

12. Как связана частотная характеристика с системной функцией цифрового фильтра?

13. Как определяется нерекурсивный цифровой фильтр? Запишите алгоритм обработки сигнала и изобразите соответствующую структурную схему фильтра.

14. В чем заключается недостаток нерекурсивных фильтров?

15. В чем состоит особенность рекурсивных ЦФ? Запишите алгоритм обработки сигнала и изобразите структурную схему фильтра.

16. Какой вид имеет структурная схема прямого рекурсивного ЦФ? Чем отличается от нее структура канонического фильтра?

17. Определение корреляционной функции. Определить циклическую корреляционную функцию следующих последовательностей с числом элементов

N=8:

а) {1 1 1 1 0 0 0 0}, 6) {1 1 1 1 1 0 0 0},

в) {1 1 1 1 1 1 0 0},

г) {1 1 1 1 1 1 1 0}.

18. Определение корреляционной функции. Какова циклическая корреляционная функция последовательностей

а) {1 0 1 0 1 0 1 0}, б) {1 0 0 1 0 0 1 0}, в) {1 0 0 0 1 0 0 1}?

Просуммировать элементы полученных корреляционных последовательностей и объяснить результат.

19. Определение корреляционной функции. Определить циклическую корреляционную функцию последовательностей

а) {1 1 0 0 0 0 0 0}, б) {1 0 1 0 0 0 0 0}, в) {1 1 0 1 0 0 0 0}, г) {1 1 0 0 1 0 1 0}.

20. Определение корреляционной функции. Определить циклическую корреляционную функцию последовательностей

а) {-3 –2 –1 0 1 2 3 4},

б) {-4 –3 –2 -1 1 2 3 4}.

Просуммировать элементы полученных корреляционных последователь­ностей и объяснить результат.

21. Корреляционные последовательности. Определить корреляционную функцию последовательностей

а) {1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0},

б) {0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0}.

Вычислить произведение 1100101 х 1010011 и использовать полученный результат для вывода очень простого алгоритма определения корреляционной функции. Если алгоритм столь прост, то почему бы не существовать еще более оптимальному методу?

22. Получите последовательность, корреляционная функция которой имеет вид {1,1 6 15 20 15 6 1,1}.. Определение свертки. Выполнить свертку последовательности {1 1 1 1 1 0 0 0 0} с последовательностями вида

а) {1 1 0 0 0 0 0 0}, б) {1 1 1 0 0 0 0 0}, в) {1 1 1 1 1 0 0 0}, г) {1 1 1 1 1 1 1 1}.

23. Определение свертки. Выполнить свертку последовательности {1 (1/2) (1/4) (1/8) (1/16) (1/32) (1/64) (1/128)} с последовательностями:

а) {1-10 0 0 0 0 0}, б). {2-1 0 0 000-1}.

24. Свертка с нечетной функцией. Должна быть выполнена свертка последовательности данных с нечетной последовательностью, т. е. функцией, для которой f(N — τ) = — f (τ). После определения ДПХ требуются только N произведений. Показать, что изменение знаков преобразования последовательности данных на обратные перед умножением и переходом в область обратного преобразования приводит к желаемому результату.

25. Уплотнение. Последовательность данных, состоящая из 1024 элементов, должна быть уплотнена до 256 элементов ценой потери тонкой структуры исходной последовательности. Показать, что это может быть осуществлено путем определения ДПХ для N = 1024 и последующего вычисления ДПХ первой четверти элементов преобразования для N = 256.

26. Скользящее среднее, а) Вычислить скользящее среднее пяти последовательных элементов биномиальной последовательности {0000 1464 1000}. •

б) Какова дисперсия полученной последовательности?

27. Циклическая функция sinc(x)=sinx/x. Показать, что sinc(x)+ sinc(x-N) + sinc(x-2N)+…+ sinc(x+N)+ sinc(x+2N)+ sinc(x+3N)+…=. N^-1 sin(Nπx)/ sin(πx).

4.7. Порядок защиты работы

Работа может быть зачтена, если студент представил отчет согласно п.4.5, исследуемые в работе сигналы соответствуют индивидуальному варианту, электронная форма соответствует представленному тексту, и студент дал исчерпывающие ответы на 10 произвольных вопросов из п.4.6.

Литература

1. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов: Справочник/Л.М.Гольденберг, Б.Д.Матюшкин, М.Н.Поляк. – М.: Радио и связь, 1985.-312с.

2. Гутников В.С. Фильтрация измерительных сигналов.-Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1990.-192с.

3. Каппелини В., Константинидис А.Дж., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение.-М.: Энергоатомиздат, 1983.