Повышение статистической устойчивости периодограммных спектральных оценок

Как отмечалось, корреляционная функция и спектральная плотность мощности – две взаимнооднозначно связанные характеристики стационарных случайных процессов, однако на практике в последние годы приоритет отдается задаче получения оценок СПМ, как более наглядно описывающих частотные свойства процесса. Поэтому будем считать проблему корреляционного оценивания решенной (см. соотношения (11’),(18)) и далее сосредоточимся на проблеме улучшения оценок СПМ (17).

Чем плоха эта оценка? Она не состоятельна, иными словами статистически неустойчива. Сколь бы длинные реализации мы не брали, дисперсия оценки (17) на каждой частоте остается очень большой (равной квадрату самой СПМ на этой частоте), соответственно общая среднеквадратическая ошибка оценивания не стремится к нулю. Как повысить статистическую устойчивость? Есть два подхода;

Первый подход. Разбить реализацию длиной N, на M секций длины L: N = M * L. Далее рассчитать M периодограмм от каждой секции

(19)

и затем рассчитать окончательную оценку как среднее арифметическое:

. (20)

Отметим, что дисперсия этой оценки будет примерно в раз меньше, чем дисперсия несглаженной периодограммной оценки (17): . Это очень хорошо. Если жестко зафиксировать длину секции L, то при , число секций и следовательно дисперсия оценки стремится к нулю , т.е. оценка СПМ становится статистически устойчивой.

Но! Не может быть все очень хорошо, в чем-то мы должны потерять. Действительно, для несглаженной оценки (17) частотное разрешение было , для оценки (20) оно ухудшается в M раз: . Соответственно, увеличивается систематическое смещение оценки . Для того, чтобы при оценка СПМ стала состоятельной (), необходимо увеличивать не только число секций M, но и размер секции L. Это можно сделать, установив, например, закон роста для размера секции (закон роста количества секций автоматически будет ).

Но как же все таки действовать в ситуации, когда N – фиксировано. Выбор числа секций L должен определяться компромиссом между желанием повысить статистическую устойчивость оценки и не слишком ухудшить частотное разрешение оценки. Как правило, процесс оценивания осуществляется путем проведения нескольких вариантов оценивания при различных L и M и внимательного визуального просмотра всех оценок. Поэтому программное обеспечение процедуры спектрального оценивания (19-20) должно обязательно включать параметры настройки: либо L, либо M. В профессиональных системах цифровой обработки сигналов для контроля статистической устойчивости спектральной оценки отображается не только график самой оценки СПМ, но и доверительный интервал, внутри которого с заданным уровнем доверия полностью находится истинная СПМ, а для контроля частотного разрешения на графике отображается горизонтальный отрезок, соответствующий минимальному “разрешенному” интервалу частот .

Описанная выше методика повышения статистической устойчивости приписывается американскому специалисту Бартлету, соответственно спектральные оценки (20) называются сглаженными периодограммными оценкам Бартлетта. Позднее этот подход был развит американским специалистом Уэлчем. Его две основные идеи: 1 - секции брать не примыкающими друг к другу, а с некоторым «нахлестом»; 2 – каждую секцию взвешивать окном , максимальным в центре и плавно спадающим к краям. Это приводит к оценке в виде:

,

. (21)

Оценки Уэлча наиболее часто применяются в системах обработки сигналов. При этом обеспечивается возможность управлять величиной перекрытия секций и выбирать различные взвешивающие окна. В качестве начального приближения рекомендуется использовать перекрытие на 50 процентов и взвешивающее косинус окно:

. (22)

Еще одна популярная методика повышения устойчивости оценок СПМ основана на сглаживании периодограммной оценки непосредственно в частотной области. Основания для применения этой методики следующие. Можно строго показать, что методики Бартлета и Уэлча эквивалентны тому, что в частотной области производится свертка несглаженной периодограммной оценки (12-13) с некоторой оконной функцией , имеющей центральный лепесток некоторой ширины и убывающие боковые лепестки.

. (23)

Конкретный вид и особенности поведения функции определяются типом оценки и ее параметрами. В частности, чем меньше размер секции L (соответственно, чем больше число таких секций M), тем шире основной лепесток и тем более сильное сглаживание производится. Учитывая (22) представляется разумным задавать сразу оконную функцию и производить свертку несглаженной периодограммы непосредственно в частотной области. Первым это предложил делать Даньелл, причем, в наиболее тривиальной форме. Сначала надо рассчитать несглаженную периодограммную оценку (17) от всей реализации длины N, затем каждый отсчет сглаженной оценки получить простым арифметическим усреднением ближайших (2L+1) отсчетов несглаженной оценки:

, (24)

где L – полуширина сглаживающего спектрального окна.

Фактически, оценка Даньелла (24) соответствует оценке (23) при выборе прямоугольного сглаживающего спектрального окна (в его дискретной версии):

. (25)

В общем случае можно брать любое окно, удовлетворяющее условию нормировки , но для обеспечения неотрицательности спектральной оценки лучше брать строго неотрицательные окна (), например, косинус-окно, подобное (22).