Монотонной называется возрастающая или убывающая функция.
Теорема 1 (достаточное условие монотонности). Если функция дифференцируема на промежутке и () для всех , то возрастает (убывает) на промежутке .
Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство ().
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции.
Т еорема 2 (необходимое условие экстремума). Если дифференцируема функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю .
Точки, в которых производная дифференцируемой функции равна нулю, называются стационарными точками.
Точки, в которых производная дифференцируемой функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Теорема 3 (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то – точка максимума функции; а если с минуса на плюс, то – точка минимума.
Если в некоторой проколотой окрестности точки производная имеет постоянный знак, то не является точкой экстремума.