Пример 1. Исследовать функцию и построить её график.
Решение.
Шаг 1. Найдем область определения функции. Данная функция определена для всех , т.е.
Шаг 2. , , следовательно, функция ни четная, ни нечетная.
Шаг 3. Пересечение с осью Оy: подставим значение в функцию. . – точка пересечения с осью Оy.
Пересечение с осью Ох. Решим уравнение ,
, . – точка пересечения с осью Ох.
Шаг 4. Найдем производную функции:
.
Найдем критические точки. Решим уравнение .
,
, , , .
Выясним знак производной функции в интервалах , , .
Промежуток | |||
Знак | + | – | + |
Монотонность |
, ; , .
Шаг 5. Найдем вторую производную функции
Решим уравнение . , .
Выясним знак второй производной функции в интервалах , .
Промежуток | ||
Знак | – | + |
Направление выпуклости | Ç | È |
Так как на промежутке , то функция выпукла на этом промежутке. На промежутке , следовательно, функция вогнута на . Так как при переходе через точку вторая производная изменяет свой знак, то – точка перегиба. .
Шаг 6. Построим график функции:
|
|