Задача 1. Из крупного стада коров произведена случайная выборка, получено 20 вариант удоя коров за 300 дней лактации (в ц): 35,9; 35,3; 42,7; 45,2; 25,9; 35,5; 33,4; 27,0; 35,9; 38,8; 33,7; 38,6; 40,9; 35,5; 44,1; 37,4; 34,2; 30,8; 38,4; 31,3.
Требуется получить вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот; найти основные выборочные характеристики: , s2, s, V, sx; с надежностью 95% указать доверительный интервал для оценки генеральной средней xГ.
Решение. Запишем исходные данные в виде вариационного ряда, то есть располагая их в порядке возрастания: 25,9; 27,0; 30,8; 31,3; 33,4; 33,7: 34,2; 35,3; 35,3; 35,5; 35,9; 35,9; 37,4; 38,4; 38,6; 38,8; 40,9; 42,7; 44,1; 46,2.
Максимальное значение признака составляет 46,2 ц, а минимальное – 25,9 ц. Разница между ними составляет 20,3 ц. Этот интервал надо разбить на определенное количество классов. При малом объеме выборки (20–40 вариант) намечают 5–6 классов. Возьмем длину интервала ∆x=5. Получаем пять интервалов: первый 25 – 30, второй 30 – 35, третий 35 – 40, четвертый 40 – 45, пятый 45 – 50. С помощью ранжированного ряда определим частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадет два значения, поэтому n1= 2. Во второй интервал попадают пять значений, поэтому n2= 5. Аналогично n3= 9, n4=3, n5= 1.
|
|
Теперь найдем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:
w1=n1/n=2/20=0,1; w2=n2/n=5/20=0,25; w3=n3/n=9/20=0,45;
w4=n4/n=3/20=0,15; w5=n5/n=1/20=0,05.
Для проверки вычисляем сумму относительных частот:
w1+ w2+ w3+ w4+ w5=0,1+0,25+0,45+0,15+0,05=1.
Тот факт, что в сумме получена единица, подтверждает правильность вычислений.
Вычислим плотности wi/∆x относительных частот вариант. Получаем
w1/∆x1=0,1/5=0,02; w2/∆x2=0,25/5=0,05; w3/∆x3=0,45/5=0,09;
w4/∆x4=0,15/5=0,03; w5/∆x5=0,05/5=0,01.
Полученные результаты сведем в таблицу.
Интервал значений | 25–30 | 30–35 | 35–40 | 40–45 | 45–50 |
Частоты вариант | |||||
Относительные частоты | 0,10 | 0,25 | 0,45 | 0,15 | 0,05 |
Плотность относительных частот | 0,02 | 0,05 | 0,09 | 0,03 | 0,01 |
Строим гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются интервалы, а высотами соответствующие значения плотностей относительных частот.
Основные выборочные характеристики вычисляются по формулам: – выборочная средняя; – «исправленная» дисперсия; – среднее квадратическое отклонение; – ошибка средней; – коэффициент вариации.
Расчеты удобно проводить с помощью таблицы
№ | Результат обследования xi | xi– | (xi– )2 |
35,9 | –0,1 | 0,01 | |
35,3 | –0,7 | 0,49 | |
42,7 | 6,7 | 44,89 | |
45,2 | 9,2 | 84,64 | |
25,9 | –10,1 | 102,01 | |
35,3 | –0,7 | 0,49 | |
33,4 | –2,6 | 6,76 | |
27,0 | –9,0 | 81,00 | |
35,9 | –0,1 | 0,01 | |
38,8 | 2,8 | 7,84 | |
33,7 | –2,3 | 5,29 | |
38,6 | 2,6 | 6,76 | |
40,9 | 4,9 | 24,01 | |
35,5 | –0,5 | 0,25 | |
44,1 | 8,1 | 65,61 | |
37,4 | 1,4 | 1,86 | |
34,2 | –1,8 | 3,24 | |
30,8 | –5,2 | 27,04 | |
38,4 | 2,4 | 5,76 | |
31,3 | –4,7 | 22,09 | |
Σ | 720,3 | 490,05 |
Подставляя полученные значения в формулы, получаем
|
|
= 720,3/20 = 36,015;
= 490,05/19 = 25,79;
= 5,08;
= 5,08/4,47 = 1,34;
= 5,08/36∙100% = 14%.
Доверительный интервал для оценки генеральной средней имеет вид:
.
Вычисляем теперь радиус доверительного интервала:
tγ ∙sx = 2,10ּ1,34 = 2,8,
где значение = 2,10 находим по таблице приложения 3.
Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что во всем стаде средний удой за 300 дней заключен в пределах от = 36 – 2,8 = =33,2 ц (гарантированный минимум) до = 36 + 2,08 = 38,8 ц (возможный максимум).
Задача 2. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в колхозе на площади 1000 га была определена ее урожайность на 100 га. Результаты выборочного обследования представлены следующим распределением:
Урожайность, ц/га | 23–25 | 25–27 | 27–29 | 29–31 | 31–33 | 33–35 | 35–37 |
Площадь, га |
Найти величину, которую следует принять за среднюю урожайность на всем массиве; величину, которую следует принять за среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве; доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,95 заключена средняя урожайность на всем массиве.
Решение. В качестве приближенного значения средней урожайности на всем массиве принимаем среднюю арифметическую данного распределения, то есть выборочную среднюю. За значение признака нужно принять середины интервалов. Получим:
(24∙3+2∙10+28∙6+30 ∙16+3 ∙15+34∙30+36∙ 20)/100 = 3200/100 = 32.
Для оценки дисперсии генеральной совокупности применяем формулу
=1/99ּ(3∙(24–32)2+10∙(26–32)2+6∙(28–32)2+
+16∙(30–32)2+15∙(32–32)2+30∙(34–32)2+20∙(36–32)2)= =1/99ּ(192+360+96+64+0+120+320)=1/99ּ1152=11,64.
Отсюда можно найти среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве = = 3,4.
Найдем среднее квадратическое отклонение выборочной средней по формуле
= 3,4/ = 0,34 ц.
Итак, оценка средней урожайности сахарной свеклы на всем массиве равна 32 ц со средней квадратической ошибкой 0,34 ц. Оценка среднего квадратического отклонения урожайности на всем массиве равна 3,4 ц.
Для вычисления доверительного интервала воспользуемся равенством
P() = γ,
согласно которому можно утверждать, что с надежностью γ доверительный интервал покрывает неизвестное математическое ожидание, точность оценки .
Так как n = 100 > 30, то значениеtγ найдем из условия γ=2Ф(tγ)=0,95. По таблице приложения 2 находим значение Ф(tγ)=0,475 и tγ=1,96.
= 1,96ּ3,4/ = 0,67.
Концы доверительного интервала:
= 32 – 0,67 = 31,33 и = 32 + 0,67 = 32,67.
Таким образом, с вероятностью 0,95 средняя урожайность сахарной свеклы на всем массиве заключена в границах от 31,33 ц до 32,67 ц.