Примеры решения задач по теме: «закон сохранения энергии»

Задача 5.1. Тело массой т = 1 кг скользит сначала по наклонной плоскости высотой h = 1 м и длиной склона l = 10 м, а затем по горизонтальной поверхности. Коэффициент трения на всем пути k = 0,05. Найти: а) кинетическую энергию T тела у основания плоскости; б) скорость v тела у основания плоскости; в) расстояние s, пройденное телом по горизонтальной поверх­ности до остановки.

Дано: т = 1 кг h = 1 м l = 10 м k = 0,05	Решение: Рисунок к задаче 5.1.
Найти: T -? n -? s -?

2.Два состояния: 1- верхняя точка (до события); 2 - у основания плоскости (после события).

3.За нулевой уровень потенциальной энергии выберем начало склона.

4.В верхней точке: У основания плоскости:

Т = 0;

U = mgh.

5. Согласно уравнению (5.14): DЕ = A, где А — работа неконсервативных сил.

, где А_ТР — работа сил трения.

Имеем

то есть потенциальная энергия тела при соскальзывании с наклонной плоскости переходит в кинетическую энергию и в работу против сил трения. Но h = l×sina, имеем sina = h/l = 0,1, а cosa = 0,99, F_ТР = kmg× cosa, где a - угол наклона плоскости.

а)

в) Кинетическая энергия, которую тело имеет у основания наклонной плоскости, переходит в работу против силы трения на горизонтальной поверхности, то есть Т = k×m×g×s, то

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

Ответ: 4,9 Дж; 3,1 м/с; 10 м.

Задача 5.2. Груз положили на чашку весов. Сколько делений покажет стрелка весов при первоначальном отбросе, если после успокоения качаний она показывает 5 делений?

Дано: Н = 5 делений	Решение: 1. Рисунок к задаче 5.2.
Найти: х -?

2. Согласно уравнению (5.3): U₁ = mgH.

3. Согласно уравнению (5.4):

4. По закону сохранения энергии (5.13): U₁ = U₂ .

Следовательно,

После установления равновесия: где согласно уравнению (3.3): F_УПР = -кх.

В проекциях на ось у: mg + kx = 0, тогда

5. Решая совместно систему уравнений:

Получаем: х = 2Н.

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

Ответ: 10 делений.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА»

Задача 5.3. Тело массой m₁ = 2 кг движется навстречу второму телу массой m₂ = 8 кг и неупруго соударяется с ним. Скорости тел непосредственно перед ударом были J₁ = 3 м/с и J₂ = 1 м/с. Считая удар центральным, найти скорость тел после удара?

Дано: m1 = 2 кг m2 = 8 кг = 3 м/с = 1 м/с	Решение: 1. До взаимодействия: Рисунок к задаче 5.3.
Найти: u -?

2.

m1 m2 u

После взаимодействия:

х

Рисунок к задаче 5.3.

3. Введем систему координат: ОХ – горизонтально вправо; ОУ – вертикально вверх.

4. До взаимодействия: После взаимодействия:

ОХ:: p_1х = m₁J₁; ОХ: p^¢ _1х = m₁u;

р_2х = -m₂J₂ ; p^¢_2x = m₂u;

р = р_1х + р_2х = m₁J₁ - m₂J₂ p^¢ = p^¢ _1х + p^¢_2x = (m₁ + m₂ )u

5. Проекция внешней силы (силы тяжести) на ось ОХ равна нулю, то система закрыта в проекции на данную ось.

6.Согласно уравнению (5.17), имеем: m₁J₁ - mJ₂ = (m₁ + m₂)u

7.Решая последнее уравнение относительно u, получаем:

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

1) вычисления:

Знак «-» указывает, что шары стали двигаться в направлении, противоположном направлению.

Ответ: 0,2 м/с.

Задача 5.4. Тело массой m₁ = 2 кг движется навстречу второму телу массой m₂ = 8 кг и упруго соударяется с ним. Скорости тел непосредственно перед ударом были J₁ = 3 м/с и J₂ = 1 м/с. Считая удар центральным, найти скорости тел u₁ и u₂ после удара?

Дано: m1 = 2 кг m2 = 8 кг = 3 м/с = 1 м/с	Решение: 1. До взаимодействия: m1 m2 Рисунок к задаче 5.4.
Найти: u1 -? u2 -?

2. После взаимодействия:

Рисунок к задаче 5.4.

3. Введем систему координат: ОХ – горизонтально вправо.

4. До взаимодействия: После взаимодействия:

ОХ: p_1х = m₁υ₁ ОХ: p^¢ _1х = m₁u₁;

р_2х = m₂ υ₂ ; p^¢_2x = m₂u₂;

р = р_1х + р_2х = m₁ υ₁ + m₂ υ₂ p^¢ = p^¢ _1х + p^¢_2x = m₁u₁ + m₂u₂

5. Проекция внешней силы (силы тяжести) на ось ОХ равна нулю, то система закрыта в проекции на данную ось.

6.Согласно уравнению (5.17), имеем: m₁ υ₁+ m υ₂ = m₁u₁ + m₂u₂

7. Согласно уравнению (5.14), имеем:

8. Решая совместно систему уравнений относительно u₁ и u₂:

Получаем:

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

1) вычисления:

Знак «-» указывает, что первый шар стал двигаться в направлении, противоположном направлению движения первого шара.

Ответ: u₁ = -0,2 м/с; u₂ = 1,8 м/с.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА»

Задача 5.5. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n₁ = 10 об/мин. Человек массой m₀ = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n₂ начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.

Дано: m0 = 60 кг m = 100 кг n1 = 10 об/мин	Решение: 1. Рисунок к задаче 6.5.
Найти: n2 -?

2.Система «человек – платформа» замкнута в проекции на ось у, так как моменты сил M_mg = 0 и M_m0g = 0 в проекции на эту ось.

3. Согласно уравнению (5.19):

В проекции на ось у: L_1y = J₁w₁; L_1y = J₂w₂, где J₁ – момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее краю, J₂ – момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре, w₁ и w₂ – угловые скорости платформы в обоих случаях.

Тогда: , где R – радиус платформы.

4. Решая совместно систему уравнений относительно n₂:

Получаем:

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

1) вычисления:

Ответ: 22 об/мин.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

5.1. Автомобиль массой m = 2тдвижется в гору с уклоном 4 мна каждые 100 м пути. Коэффициент трения к = 0,08. Найти работу А, совершаемую двигателем автомобиля на пути s = 3 км был пройден за время t = 4 м ин. (Ответ: А = 7 МДж; N = 29,2 кВт).

5.2. Граната, летящая со скоростью υ = 10 м/с, разорвалась на два осколка. Больший осколок масса которого составляла 0,6 массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью u₁ = 25 м/с. Найти скорость u₂ меньшего осколка.

(Ответ: u₂ = 12,5 м/с).

5.3. Лодка стоит неподвижно в стоячей воде. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние переместится лодка, если масса человека m₁ = 60 кг, масса лодки m₂ = 120 кг, длина лодки l = 3 м? Сопротивление воды не учитывать.

(Ответ: s = 1 м).

5.4. Горизонтальная платформа массой т = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой n₁ = 20 об/мин. В центре плат­формы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой n₂ будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J₁ = 2,94 до J₂ = 0,98 кг×м²? Считать платформу однородным диском. (Ответ: n₂ = 21 об/мин)

5.5. Человек массой m₀ = 60 кг находится на неподвижной платформе массой от m = 100 кг. С какой частотой n будет вра­щаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом r = 5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы υ₀ = 4 км/ч. Радиус платформы R = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.

(Ответ: υ = 1,1 м/с; n = 0,49 об/мин).

5.6. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра шара до точки подвеса стержня l = 1 м. Найти скорость υ пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол a = 10°.

(Ответ: υ» 550 м/с).

5.7. К нижнему концу пружины, подвешенной верти­кально, присоединена другая пружина, к концу которой прикреп­лен груз. Жесткости пружин равны k₁ и k₂.. Пренебрегая массой пружин по сравнению с массой груза, найти отношение U₁/U₂потенциальных энергий этих пружин.

(Ответ: U₁/U₂ = k₂ / k₁).

Рисунок к задаче 5.7

5.8. На двух параллельных пружинах одинаковой длины весит невесомый стержень длиной L = 10 см. Жесткости пружин k₁ = 2 Н/м и k₂ = 3 Н/м. В каком месте стержня надо подвесить груз, чтобы стержень оставался горизонтальным?

(Ответ: l₁ = 6 см; l₂ = 4 см).

Рисунок к задаче 5.8.

5.9. Частица массы m₁ налетает со скоростью J₁ на покоящуюся частицу, масса которой m₂ = 3m₁. Про­исходит абсолютно упругое соударение, после ко­торого частица m₂ движется под углом q = 45° к первоначальному направлению движения частицы m₁ (см. рисунок). Требуется найти q₁ — угол откло­нения первой частицы и величины скоростей u₁ и u₂.

(Ответ: q₁ = 71⁰30, ^¢ u₁ =)

Рисунок к задаче 5.9.

5.10. Спутник Земли весом 10 кг со средним поперечным сечением 0,50 м² движется по круговой орбите на высоте 200 км, где средний пробег молекул из­меряется многими метрами и плотность воздуха равна 1,6 × 10^-10 кг/м³. Приближенно будем считать соударения молекул со спутником абсолютно неупругими (молекулы не то чтобы прилипают к спутнику, но отскакивают от него с очень малыми относительными скоростями). Подсчитайте, какая тормозящая сила будет действовать на спутник за счет трения о воздух. Как будет зависеть эта сила от скорости спутника? Будет ли скорость спутника уменьшаться под действием всех приложенных к нему сил? (Учтите зависимость орбитальной скорости спутника от высоты круговой орбиты.) (Ответ: F_торм» 0,5× 10^-2 Н).