Гипербола

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5 ПУСТЬ ДВЕ ФИКСИРОВАННЫХ ТОЧКИ НА ОХУ ПЛОСКОСТИ. ГИПЕРБОЛА- ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК ТАКОЕ, ЧТО РАЗНОСТЬ РАССТОЯНИЙ ЕСТЬ ПОСТОЯННАЯ ВЕЛИЧИНА. ТОЧКИ НАЗЫВАЮТСЯ ФОКУСАМИ ГИПЕРБОЛЫ.

ДВЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРВАЯ ИЗ КОТОРЫХ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ФОКУСЫ, А ВТОРАЯ ЧЕРЕЗ СЕРЕДИНУ ОТРЕЗКА НАЗЫВАЮТСЯ ОСЯМИ ГИПЕРБОЛЫ. СЕРЕДИНА ОТРЕЗКА НАЗЫВАЕТСЯ

РИС.9 ЦЕНТРОМ ГИПЕРБОЛЫ.. ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ С ОСЬЮ НАЗЫВАЮТСЯ ВЕРШИНАМИ ГИПЕРБОЛЫ (РИС.9).

В «КАНОНИЧЕСКОЙ» СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ЦЕНТР СИММЕТРИИ ГИПЕРБОЛЫ РАСПОЛОЖЕН В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ, А ФОКУСЫ ЛЕЖАТ НА ОСИ ОХ ИЛИ ОУ. ГИПЕРБОЛА СИММЕТРИЧНА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ КООРДИНАТ.

ПРИМЕР 2.4. НАЙТИ УРАВНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК , ДЛЯ КОТОРЫХ РАЗНОСТЬ РАССТОЯНИЙ ОТ ДВУХ ТОЧЕК РАВНА 4.

ДАЛЕЕ ИМЕЕМ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ 2.5

УРАВНЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ КАНОНИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ ГИПЕРБОЛЫ В «КАНОНИЧЕСКОЙ» СИСТЕМЕ КООРДИНАТ .

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ СФОРМУЛИРОВАН В СЛЕДУЮЩЕЙ ТЕОРЕМЕ 2.5.

ТЕОРЕМА 2.5. ПУСТЬ ФОКУСЫ ГИПЕРБОЛЫ ЛЕЖАТ НА ОСИ ОХ В ТОЧКАХ . В ЭТОМ СЛУЧАЕ СИСТЕМУ КООРДИНАТ БУДЕМ НАЗЫВАТЬ «КАНОНИЧЕСКОЙ»

ТОГДА ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ СЛЕДУЕТ, ЧТО И ЕСЛИ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ЛЕЖАЩЕЙ НА ГИПЕРБОЛЕ, ТО ОНИ УДОВЛЕТВОРЯЮТ

«КАНОНИЧЕСКОМУ» УРАВНЕНИЮ , (2.14)

ГДЕ (2.15)

Рис.11

В ОТЛИЧИЕ ОТ ПАРАБОЛЫ И ЭЛЛИПСА ГИПЕРБОЛА ИМЕЕТ АСИМПТОТЫ. ЭТО ОЗНАЧАЕТ, ЧТО

ЛИНИЯ ГИПЕРБОЛЫ, ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ УДАЛЕНИИ ТОЧКИ ГИПЕРБОЛЫ ОТ НАЧАЛА КООРДИНАТ,

НЕОГРАНИЧЕННО ПРИБЛИЖАЕТСЯ (ПРАКТИЧЕСКИ НЕОТЛИЧИМА) К ПРЯМОЙ ЛИНИИ НАЗЫВАЕМОЙ АСИМПТОТОЙ ГИПЕРБОЛЫ. УРАВНЕНИЯ АСИМПТОТ ИМЕЮТ ВИД

УПРАЖНЕНИЕ. УКАЖИТЕ НА РИСУНКЕ 11 АСИМПТОТЫ ГИПЕРБОЛЫ.

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ГИПЕРБОЛЫ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ АНАЛОГИЧНО ЭКСЦЕНТРИСИТЕТУ ЭЛЛИПСА. НО У ГИПЕРБОЛЫ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ВСЕГДА БОЛЬШЕ ЕДИНИЦЫ (ЭТО СЛЕДУЕТ ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 2.5).

ДИРЕКТРИСЫ ГИПЕРБОЛЫ (2.14) ЗАДАЮТСЯ УРАВНЕНИЯМИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

(2.16)

ТЕОРЕМА 2.6. ПУСТЬ ФОКУСЫ ГИПЕРБОЛЫ ЛЕЖАТ НА ОСИ ОУ В ТОЧКАХ . В ЭТОМ СЛУЧАЕ СИСТЕМУ КООРДИНАТ БУДЕМ НАЗЫВАТЬ «КАНОНИЧЕСКОЙ» ТОГДА ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ СЛЕДУЕТ, ЧТО И ЕСЛИ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ЛЕЖАЩЕЙ НА ГИПЕРБОЛЕ, ТО ОНИ УДОВЛЕТВОРЯЮТ «КАНОНИЧЕСКОМУ» УРАВНЕНИЮ(РИС,12) , (2.17)

ГДЕ (2.18)

РИС.12

ЛИНИЯ ГИПЕРБОЛЫ, ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ УДАЛЕНИИ ТОЧКИ ГИПЕРБОЛЫ ОТ НАЧАЛА КООРДИНАТ,

НЕОГРАНИЧЕННО ПРИБЛИЖАЕТСЯ (ПРАКТИЧЕСКИ НЕОТЛИЧИМА) К ПРЯМЫМ ЛИНИЯМ НАЗЫВАЕМЫМ

АСИМПТОТАМИ ГИПЕРБОЛЫ. УРАВНЕНИЯ АСИМПТОТ В ЭТОМ СЛУЧАЕ ИМЕЮТ ВИД

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ГИПЕРБОЛЫ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ АНАЛОГИЧНО ЭКСЦЕНТРИСИТЕТУ ЭЛЛИПСА. У ГИПЕРБОЛЫ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ВСЕГДА БОЛЬШЕ ЕДИНИЦЫ.

ДИРЕКТРИСЫ ДАННОЙ ГИПЕРБОЛЫ - ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

(2.19)

УПРАЖНЕНИЕ. УКАЖИТЕ НА РИСУНКЕ 12 ДИРЕКТРИСЫ ГИПЕРБОЛЫ.

ЗАМЕЧАНИЕ. ОБРАЩАЕМ ВНИМАНИЕ ЧИТАТЕЛЯ, ЧТО ПО ВИДУ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ МОЖНО СКАЗАТЬ НА КАКОЙ ОСИ ЛЕЖАТ ФОКУСЫ ГИПЕРБОЛЫ.