2015-05-13
694
Один из методов решения логарифмических уравнений состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к простейшим. В ходе преобразований используются следующие логарифмические формулы, имеющие место при тех значениях 
, при которых одновременно определены их левые и правые части:
;
;
;
;
;
;
;
.
Логарифмическое уравнение можно решать, действуя по следующему плану. Вначале определяем ОДЗ уравнения. Затем, используя логарифмические формулы, упрощаем уравнение, следя за тем, чтобы в ходе преобразований ОДЗ переменной не сужалась. При соблюдении этого условия уравнение, оказавшееся последним в цепочке преобразований, будет равносильным исходному уравнению на области допустимых значений последнего. После того, как корни упрощенного уравнения найдены, отбираем из них те, которые принадлежат ОДЗ исходного уравнения.
Пример 3. Решить уравнение 
.
Решение. ОДЗ: 
.
Замена 
может привести к сужению ОДЗ, и, значит, может привести к потере корней. Поэтому преобразуем так:
|
|
|
Заметим, что в ОДЗ исходного уравнения каждое из уравнений равносильно исходному. Последнее из уравнений выполняется в двух случаях: 
и 
, т.е. если 
и 
. Оба значения лежат в области определения исходного уравнения и, значит, являются его корнями.
Ответ. 
, 
.
