При исследовании динамических свойств линейных цепей и систем в качестве типовых элементарных воздействий обычно используется единичная ступенчатая функция 1(t) и дельта-функция δ(t).
Единичная ступенчатая функция l(t), называемая также функцией Хевисайда или функцией включения (рис. 14.3, а), имеет значения:
иобычно неопределенна при t=0.
При смещении такой функции вправо по оси абсцисс на время τ(рис, 14,3, б) ее можно выразить в виде
Возникновение ступенчатых сигналов весьма типично. В теории цепей они соответствуют, например, включению постоянного напряжения на вход устройства при замыкании ключа. Если цепь включается в момент t=t0 на напряжение u(t), то это соответствует воздействию вида f(t)=u(t) · l (t—t0) (рис. 14.4),
С помощью единичных ступенчатых функций можно представить большое число разнообразных сигналов. Например, прямоугольный импульс можно описать (рис. 14.5, а)разностью
.
а более сложный сигнал — суммой п ступенчатых функций (рис. 14.5,6)
где
|
|
Дельта-функция δ(t), или функция Дирака, может быть представлена по-разному. С точки зрения инженера, желающего ви-
деть δ (t) -функцию как сигнал в физической системе, функция Дирака представляет импульс с бесконечно большой амплитудой и бесконечно малой длительностью, площадь которого конечна и равна единице. В качестве примера представим импульс сколь угодно малой длительности Δt, амплитуда которого (рис. 14.6, а). В пределе, когда , его амплитуда , но площадь остается постоянной и равна UmΔt =l.
Такое определение δ(t)-функции, несмотря на его простоту и наглядность, не является строгим в математическом отношении. Тем не менее оно достаточно для большинства приложений, встречающихся в теории электрорадио цепей.
Более строго в этом отношении δ(t)-функция определяется как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. Например, последовательность непрерывных функций (рис. 14.6,6)
сходится к нулю при . При t = 0 и значения этих функций неограниченно возрастают.
Анал о гичн о о пределяют и единичную ступенчатую функцию 1 (t). Например, последовательность непрерывных функций (рис. 14.7)
(14.8)
при t<О имеет предел 0, а при t>0 ее пределом является 1, что соответствует выражению (14.3).
Дельта функция, как и функция l(t), относится к специальному типу функций, имеющих определенные свойства и называемых обобщенными функциями.
Для δ(t)-функции (рис. 14.8, α) справедливы соотношения:
При смещении δ (t) -функции вправо по оси абсцисс на время τ (рис. 14.8,6) получим:
В практическом отношении ценность δ(t)-функции заключается в конечном значении ее площади, чего нельзя сказать о конкретном значении самой функции.
|
|
Важность δ(t)-функции становится более ясной при интегрировании. Более ценными являются не значения самой δ(t)-функции, а то, что с ней происходит при интегрировании. Это особенно проявляется при решении часто встречающихся на практике задач, связанных с воздействиями кратковременных толчков или импульсов. Результат таких воздействий часто не зависит от формы импульса, а определяется интегральным значением, т. е. площадью импульса.
Рассмотрим интеграл, содержащий произведение произвольной непрерывной функции и δ-функции:
Учитывая, что лишь при t=0 и в окрестностях этой точки на бесконечно малом интервале от —Δt до Δt ƒ(t) ƒ(0) (Δt 0), получим
Таким образом, важным свойством б(t)-функции является возможность выделить (отфильтровать) с ее помощью значение функции в данный момент времени. В связи с этим говорят о фильтрующем свойстве б (t)-функции (рис. 14.8, в). Это свойство определяется равенством
Если в формулу (14.11) подставить б (t)-функцию, смещенную на произвольный момент времени τ, то аналогично получим равенство для более общего случая
Между единичной ступенчатой функцией l(t) и б(t)-функцией Дирака существует тесная связь:
Действительно, при t<0 функция 6(t) и ее интеграл.равны нулю. После перехода через момент времени t=0 значение интеграла изменяется скачком на единицу и остается равным единице.
С другой стороны,
так как l/(t)=0 при f-И-О и V(t)==oo при t=0.
Таким образом, б (t)-функция равна первой производной единичной ступенчатой функции.
Импульсные воздействия, близкие к б (t)-функции, встречаются достаточно часто на практике, например удары в механических системах, броски э. д. с. самоиндукции при коммутациях в электрических цепях и др,