Интеграл свертки для огибающих

В радиотехнике часто решаются задачи исследования переход­ных процессов в высокодобротных колебательных контурах при воздействии на них модулированных высокочастотных колебаний ( рис. 14.13). Причем частота этих колебаний мало отличается от ча­стоты собственных колебаний резо­нансного контура ( или ), а само высокочастотное ко­лебание модулировано с помощью медленно меняющихся функций, например

, (14.33)

где и —амплитуда и начальная фаза высокочастотного колебания, являющиеся медленно меняющимися функциями времени.

Под медленно меняющейся функцией времени в данном слу­чае понимают такую функцию, для которой

Решение подобных задач можно значительно упростить, если ограничиться описанием переходного процесса лишь на основе расчета огибающих высокочастотных колебаний. Для рассматри­ваемого воздействия (14.33) огибающей является функция ( см. рис. 14.13). Такой подход к решению задачи не является стро­гим, но достигаемые с его помощью упрощения расчета настолько значительны, что вполне оправдывают его применение. Разрабо­тал и впервые широко использовал метод огибающих для анализа переходных процессов в резонансных системах с малым затуха­нием советский ученый С. И. Евтянов.

Пусть на цепь, представляющую резонансную колебательную систему, действует модулированный по амплитуде и фазе радио­сигнал (14.33). Реакцию цепи, или сигнал на выходе системы, найдем как свертку входного сигнала и импульсной харак­теристики цепи a(t):

Импульсную характеристику колебательной системы можно представить как

Примером может служить импульсная характеристика после­довательного колебательного контура

где —огибающая импульсной характеристики;

— начальная фаза импульсной характери­стики.

Подставляя выражение (14.36) в формулу (14.35), находим

Второй интеграл в полученном выражении близок к нулю, так-как множитель его подынтегрального выражения представляет периодическую функцию, изменяющуюся с большой частотой (). При интегрировании площади положительных и отрица­тельных полуволн взаимно уничтожаются. Таким образом,

Это выражение можно упростить, используя комплексную форму записи:

Комплексная огибающая высокочастотного сигнала — это комплексная функция времени, модуль которой представляет за­кон изменения его амплитуды, а аргумент — закон изменения на­чальной фазы. Как следует из формулы (14.40), комплексной оги­бающей выходного сигнала в рассматриваемом случае является

С помощью этого интеграла можно рассчитать огибающую ко­лебаний в переходном режиме в системе и с ее помощью исследо­вать протекающие процессы.

В тех случаях, когда фаза входного сигнала не является функ­цией времени и расстройка системы отсутствует, т. е. ψ(t) =const и Δω = 0, получим выражение огибающей выходного сиг­нала в виде

Оно представляет интегральную свертку огибающих входного сигнала и импульсной характеристики цепи и называется интегра­лом свертки для огибающих.

Пример 14.5.

Рассчитать огибающую тока в последовательном высокодобротном резонанс-ном контуре при его подключении на синусоидальное напряжение с частотой, равной резонансной частоте контура ω=ω₀. Спомощью огибающей построить картину переходного процесса.

Решение.

Огибающей входного сигнала является ступенчатая функция

.

Используя также выражение для огибающей импульсной характеристики (14.37), спомощью выражения (14.42) для случая ω=ω ₀ нах о дим

Отсюда следует, что амплитуда колебаний тока в контуре плавно нарастает по закону обратной экспоненты (см. рис. 13.21). Этот результат совпадает с по­лученным ранее выражением (13.71).

15. СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ