Расчет распределения давления при переменном во времени расходе или давлении на забое

Дифференциальные уравнения упругого режима являются линейными уравнениями. Это означает, что если есть два разных решения дифференциального уравнения, то и их сумма также является решением этого дифференциального уравнения.

Формулы для расчета распределения давлений, полученные в параграфах 1.1. - 1.9., выведены в предположении, что дебиты или давления постоянны и скважина или галерея начинают работать в момент времени t = 0. На практике дебиты скважин меняется с течением времени. В дальнейшем будем рассматривать не само давление, а падение давления относительно начального DP(r, t):

Пусть отбор начинается в момент времени t = 0, а в момент времени t = τ₁, тогда падение давления рассчитывается следующим образом:

.

(1.51)

Пример. Пусть в некоторый момент времени, принимаемый за начальный (t = 0), в невозмущенном пласте с давлением P_k пущена в эксплуатацию скважина с постоянным дебитом Q_o и через промежуток времени τ_l остановлена. Под остановкой ее подразумевается мгновенное прекращение притока жидкости к забою скважины. Требуется определить давление в любой точке пласта в любой момент времени как при работе скважины, так и после ее остановки.

До момента времени τ_l скважина работала одна, следовательно, пластовое давление в любой точке пласта определяется по формуле

.

(1.52)

где t изменяется в интервале от 0 до τ_l.

Начиная с момента времени (скважина уже остановлена), следуя методу суперпозиции, мысленно допустим, что вместе с продолжающей работать добывающей скважиной в той же точке начала работать нагнетательная скважина с таким же расходом Q_o. Следовательно, с момента τ_l в пласт в одной и той же точке закачивается столько же жидкости, сколько из него и отбирается, значит, суммарный фактический отбор жидкости из пласта оказывается равным нулю, что свидетельствует об остановке добывающей скважины по условию задачи.

Падение давления, вызванное работой нагнетательной скважины, пушенной в момент времени τ_l рассчитывается по формуле:

.

(1.53)

К моменту времени t после остановки скважины (t > τ_l) понижение давления в любой точке пласта определяется по методу суперпозиции:

.

(1.54)