2015-05-13
2330
Имеется несколько типов передаточных функций с различными свойствами, со своими достоинствами и недостатками. Мы сосредоточим свое внимание на трех наиболее известных типа передаточных функций - Баттерворта, Чебышева и Бесселя. Для большинства случаев их бывает достаточно. Будут рассмотрены и другие типы фильтров, но за более подробными сведениями о них лучше обратиться к специальной литературе.
Есть несколько способов определения наиболее подходящей передаточной функции. Можно выбрать передаточную функцию, исходя из приведенного ниже описания фильтров различных типов. Можно также выбрать ее по графикам необходимой зависимости коэффициента передачи или фазы от частоты, или по переходной характеристике. Описание более формализованных подходов можно найти в литературе.
Рассматриваемые далеее типы фильтров считаются нормированными, т.е. их коэффициент передачи в полосе пропускания равен 1 (0 дБ), а частота среза - 1 рад/с. Для расчетов других фильтров (полосовых, верхних частот и т.д.) необходимо провести операции преобразования частот и масштабирования, которые рассмотрены в следующем разделе.
Фильтры Баттерворта (с максимально плоской характеристикой).
Рис. 6.46. Характеристики фильтра Баттерворта: а) амплитудная,
б) переходная.
Эти фильтры отличаются наибольшей равномерностью АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе подавления (рис. 6.46).
Поскольку на АЧХ отсутствуют пульсации (максимумы и минимумы), каждое значение коэффициента передачи появляется на конкретной частоте только один раз. Такое свойство называется монотонностью характеристики фильтра.
Спад АЧХ за полосой пропускания составляет 20 n дБ/декада, где п - порядок фильтра.
Максимально плоская АЧХ в полосе пропускания достигается за счет ухудшения линейности фазовой характеристики. Ее нелинейность приводит к фазовым искажениям, так как сигналы различных частот имеют разное время задержки. На переходной характеристике фильтра при этом появляется выброс и "звон" на вершине выходного импульса, величина которых возрастает при повышении порядка фильтра. Все корни передаточной функции ФНЧ Баттерворта являются полюсами, т.е. среди них нет нулей.
Фильтр Баттерворта можно использовать как хороший фильтр общего назначения, поскольку он имеет максимально плоскую АЧХ, умеренную фазовую нелинейность, приемлемую переходную характеристику и достаточно крутой спад АЧХ вне полосы пропускания. Эти свойства делают его одним из наиболее широко применяемых фильтров.
Фильтры Чебышева (фильтр равных пульсаций).
Фильтр Чебышева (рис. 6.47) характеризуется крутым спадом АЧХ и немонотонностью коэффициента передачи в полосе пропускания. Крутизна спада АЧХ достигается ценой появления существенных пульсаций на характеристике в полосе пропускания. Их величина лежит между уровнями 0.1 и 3 дБ.
Более крутой спад приводит и к увеличению нелинейности фазовой характеристики в полосе пропускания. Следовательно, возрастают и величина перерегулирования, и звоны на вершине выходного перепада. Фильтры Чебышева также не содержат нулей в передаточной функции.
Рис. 6.47. Характеристики фильтра Чебышева: а) амплитудная (неравномерность 0,1 дБ), б) амплитудная (неравномерность 0,5 дБ
Рис. 6.47 (продолжение). Характеристики фильтра Чебышева: г) переходная характеристика (перерегулирование 0,1 дБ), д) переходная характеристика (перерегулирование 0,5 дБ
Фильтры Чебышева используются в тех случаях, когда требуется наиболее крутой спад АЧХ за частотой среза. Фазовую характеристику можно сделать более линейной, дополнив фильтр фазовращателем, но при этом увеличиватеся общее время задержки.
Фильтры Бесселя (фильтры с линейной фазовой характеристикой или фильтры Томсона).
Фильтры Бесселя (см. рис. 6.48) имеют фазовую характеристику, максимально близкую к идеальной.
Рис. 6.48. Характеристики фильтра Бесселя: а) частотная, б) переходная
Благодаря линейной фазовой характеристике, сигналы всех частот в полосе пропускания имеют одинаковые временные задержки. Однако это характерно только для фильтра Бесселя низших частот, другие фильтры Бесселя- ПФ, ППФ, ФВЧ - таким свойством не обладают (линейность фазовой характеристики ФНЧ Бесселя не сохраняется при операциях преобразования шкалы частот для получения фильтров с другими АЧХ).
Переходная характеристика фильтра Бесселя "имеет малую величину перерегулирования. Это особенно важно при работе с импульсными сигналами, которые надо передавать с минимальными искажениями. Хорошая фазовая характеристика фильтров этого типа достигается ценой ухудшения амплитудной характеристики. АЧХ не является максимально плоской в полосе пропускания и не имеет крутого спада. При этом она монотонна. Передаточные функции фильтров Бесселя содержат только полюса.
Другие типы фильтров.
Фильтры Баттерворта-Бесселя. Эти фильтры имеют промежуточную характеристику между максимально плоской АЧХ фильтра Баттерворта и линейной ФЧХ фильтра Бесселя, в результате чего получается фильтр с приемлемыми значениями равномерности амплитудной характеристики и линейности фазовой.
Фильтры Лежандра (или оптимально монотонные). Они сочетают в себе свойства фильтров Баттерворта и Чебышева. Их АЧХ не столь равномерна, как у фильтра Баттерворта, но не содержит пульсаций, характерных для фильтров Чебышева. Характеристика оптимально монотонная; более крутой спад, чем у фильтра Баттерворта, достигается за счет ухудшения равномерности АЧХ.
Инверсные фильтры Чебышева. Этот тип фильтров является инверсией обычных фильтров Чебышева в том смысле, что их характеристики монотонны в полосе пропускания, но содержат равномерные пульсации в полосе подавления (рис. 6.49а). Инверсный фильтр Чебышева применяется в случаях, когда нет необходимости в максимальном ослаблении сигналов вне полосы пропускания, но АЧХ в полосе пропускания должна быть плоской. Пульсации коэффициента передачи в полосе подавления возникают из-за появления нулей в передаточной функции.
Эллиптические фильтры (фильтры Чебышева-Кауэра). АЧХ фильтров этого типа имеет пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе подавления. При этом достигается максимальная крутизна спада АЧХ (рис. 6.49б).
Параметры фильтров различных типов приведены в табл. 6.4.
Передаточные функции.
В табл. 6.5 приведены передаточные функции фильтров Баттерворта до восьмого порядка.
Таблица 6.5. Передаточные функции Баттерворта.
Полиномы Баттерворта 
N(s) = 1,
D(s) = (из таблицы).
| Порядок п | D(s) |
| (s + 1) | |
| (s2 + 1,41421s + 1) | |
| (s + l)(s2 + s + 1) | |
| (s2 + 1,84776s + l)(s2 + 0,76537s + 1) | |
| (s + l)(s2 + 1,61803s + l)(s2 + 0,61803s + 1) | |
| (s2 + 1,93185s + l)(s2 + 1,41421s + 1) (s2 + 0,51764s + 1) | |
| (s + l)(s2 + 1,80194s + l)(s2 + 1,24698s + 1) (s2 + 0,44504s + 1) | |
| (s2 + 1,96157s + l)(s2 + 1,66294s + 1) (s2 + 1,11114s + l)(s2 + 0,39018s + 1) |
При заданных значениях Amin, Amax, ωs и ωр необходимый порядок фильтра определяется из выражения:
Отметим, что поскольку Aminи Amaxпредставляют из себя коэффициенты ослабления в децибелах, они всегда положительны. Так как п должно быть целым, полученное по формуле значение округляется до ближайшего большего целого числа. Приведенные в табл. 6.5 полиномы Баттерворта нормированы к ширине полосы 1 рад/с на уровне -3 дБ и единичному коэффициенту передачи на постоянном токе (0 дБ).
Таблицы 6.6а - б.бв содержат передаточные функции фильтров Чебышева с амплитудами пульсаций АЧХ в полосе пропускания 0,5, 1 и 3 дБ соответственно. Они нормированы таким образом, что максимальный коэффициент передачи в полосе пропускания равен 1 (0 дБ), а коэффициент ослабления передаточной функции T(s) = N(s)/D(s) равен Amaxна частоте 1 рад/с. Фильтр Чебышева n-го порядка имеет п полупериодов пульсаций в полосе пропускания. Порядок фильтра Чебышева, необходимый для получения требуемой АЧХ, определяется выражением:
где Amin и Amax — ослабления в децибелах (Amin, Amax,> 0)- Отметим, что Amin характеризует также амплитуду пульсаций в полосе пропускания. При одинаковых параметрах АЧХ порядок фильтра Чебышева обычно ниже порядка фильтра Баттерворта. Полученное из приведенного выражения значение п необходимо округлить до ближайшего большего цело-то. После этого передаточная функция может быть взята из таблиц.
Полином знаменателя D(n)(s) для фильтра Бесселя и-го порядка можно легко вычислить по рекуррентному соотношению из D(n-1)(s) и D(n_2)(s):
Таблица 6.6а. Передаточные функции фильтров Чебышева (пульсации в полосе пропускания 0.5 дБ).
| Порядок n | N(s) | D(s) |
| 2,863 | (s + 2,863) | |
| 1,431 | (s2 + 1,426s + 1,516) | |
| 0,716 | (s + 0,626)(s2 +0,626s+ 1,142) | |
| 0,358 | (s2 + 0,351s + l,064) < s2 + 0,847s + 0,356) | |
| 0,1789 | (s + 0,362)(s2 + 0,224s + 1,036) (s2 + 0,586s + 0,477) | |
| 0,0895 | (s2 + 0,155s + l,023)(s2 + 0,424s + 0,590) (s2 + 0,580s + 0,157) | |
| 0,0447 | (s + 0,256)(s2 + 0,114s + 1,016) (s2 + 0,319s + 0,677)(s2 + 0,462s + 0,254) | |
| 0,0224 | (s2 + 0,0872s + l,012)(s2 + 0,248s + 0,741) (s2 + 0,372s + 0,359)(s2 + 0,439s + 0,088) |
Таблица 6.6б. Передаточные функции фильтров Чебышева (пульсации в полосе пропускания 1 дБ).
| Порядок п | N(s) | D(s) |
| 1,965 | (s + 1,965) | |
| 0,983 | (s2 + 1,098s +1,103) | |
| 0,491 | (s + 0,494)(s2 + 0,494s + 0,994) | |
| 0,246 | (s2 + 0,674s + 0,279)(s2 + 0,279s + 0,987) | |
| 0,123 | (s + 0,289)(s2 + 0,468s + 0,429) (s2 + 0,179s + 0,988) | |
| 0,0614 | (s2 + 0,124s + 0,991)(s2 + 0,340s + 0,558) (s2 +0,464s+ 0,125) | |
| 0,0307 | (s + 0,205)(s2 + 0,0914s + 0,993) (s2 + 0,256s + 0,653)(s2 + 0,370s + 0,230) | |
| 0,0154 | (s2 + 0,0700s + 0,994)(s2 + 0,199s + 0,724) (s2 + 0,298s + 0,341)(s2 + 0,352s + 0,0703) |
Таблица 6.6.в. Передаточные функции фильтров Чебышева (пульсации в полосе пропускания 3 дБ).
| Порядок n | N(s) | D(s) |
| (s + 1) | ||
| 0,500 | (s2 + 0,644s + 0,707) | |
| 0,250 | (s + 0,298)(s2 + 0,298s + 0,839) | |
| 0,125 | (s2 +0,170s+ 0,903)(s2 +0,410s+ 0,196) | |
| 0,0625 | (s + 0,177)(s2 +0,110s+ 0,936) (s2 + 0,287s + 0,377) | |
| 0,0313 | (s2 + 0,0763s + 0,955)(s2 + 0,209s + 0,522) (s2 + 0,285s + 0,0887) | |
| 0,0156 | (s + 0,126)(s2 + 0,0562s + 0,966) (s2 + 0,157s + 0,627)(s2 + 0,228s + 0,204) | |
| 0,00781 | (s2 + 0,0431s + 0,974)(s2 + 0,123s + 0,704) (s2 + 0,184s + 0,321)(s2 + 0,217s + 0,0503) |
При коэффициенте передачи на постоянном токе 0 дБ передаточная функция равна 7(s) = N/B(s). Разложенные на сомножители полиномы наменателя фильтра Бесселя приведены в табл. 6.7, причем они не нормированы к какой-либо конкретной частоте или времени задержки.
Таблица 6.7. Передаточные функции фильтров Бесселя. 
| Порядок n | Частота -3 дБ(рад/с | tзд(с) | N | D(s) |
| 1,000 | 0,693 | (s + 1) | ||
| 1,362 | 0,900 | (s2 + 3s + 3) | ||
| 1,756 | 0,958 | (s + 2,322)(s2.+ 3,678s + 6,459) | ||
| 2,115 | 0,979 | (s2 +5,792s+ 9,14) (s2 + 4,208s + 11,49) | ||
| 2,427 | 0,989 | (s + 3,647)(s2 + 6,704s + 14,27) (s2 +4,649s+ 18,16) | ||
| 2,703 | 0,994 | (s2 + 5,032s + 26,51) (s2 + 7,471s + 20,85) (s2 + 8,497s + 18,80) | ||
| 2,952 | 0,997 | (s + 4,972)(s2 + 5,371s + 36,60) (s2+8,140s+ 28,94) (s2 + 9,517s + 25,67) | ||
| 3,179 | 0,998 | (s2 + 5,678s + 48,43) (s2 + 8,737s + 38,57) (s2 + 10,41s + 33,93) (s2 + 11,18s + 31,98) |
Частоты среза по уровню -3 дБ даны вместе с временем задержки (достижения 50% установившегося значения при ступенчатом входном сигнале). Приведенные в таблице нормированные значения необходимо пересчитать на конкретное значение частоты. Увеличение частоты уменьшает время задержки, т.е. масштабирование частоты с коэффициентом к уменьшает время задержки в 1/краз.
