2015-05-13
297
К пп.2-6. Система счисления - это совокупность приемов и правил для записи чисел цифрами.
Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение (вес) цифры зависит от ее положения в записи числа, в непозиционных не зависит (например, римская система счисления). Число в позиционной системе счисления записывается в виде последовательности цифр:
Bq= bnbn-1...b0,b-1...b-m (1)
И может быть представлено в следующем виде:
Bq= bnqn+ bn-1qn-1 +...+ b0q0 + b-1q-1 +...+ b-mq-m = (2)
где – q - основание системы счисления;
Например:
535.1710 = 5*102 + 3*101 + 5*100 + 1*10-1 + 7*10-2
Для естественных позиционных систем счисления q - положительное целое число. Оно обозначает количество символов (цифр), применяемых для записи чисел в данной системе счисления:
· для десятичной системы q=10 и 10 цифр: 0,1,...9;
· для двоичной q=2 и 2 цифры: 0 и 1.
· для восьмеричной системы q=8 и 8 цифр: 0,1,...7;
· для десятичной системы q=16 и 16: 0,...9,A,B,C,D,E,F.
В вычислительной технике для представления информации используется двоичная система в силу следующих причин:
|
|
|
· простота технической реализации устройств представления двоичных цифр;
· простота двоичной арифметики;
· возможность описания арифметических операций логическими.
Недостатками двоичной системы счисления являются:
· слишком длинная запись числа;
· необходимость перевода из десятичной системы в двоичную и наоборот.
Для перевода числа в другую систему счисления необходимо определить значения коэффициентов bi (формула (2)). Обычно переводят отдельно целую и дробную части числа.
Для перевода целой части числа используют следующую схему Горнера:
Bq= bnqn+bn-1qn-1 +..+ b1q1 + b0q0 =(..(bnq+bn-1)*q+bn-2)*q+...b1)*q + b0 (2)
Например:
1210 = 1*101 + 2*100
При переводе в двоичную систему определим значения коэффициентов по схеме Горнера:
| _12 2 12 _6 2 0 6 _3 2 0 21 2 1 1 0 |
= (b3*22 + b2*2 + b1)*2 + b0 =
= ((b3*2 + b2)*2 + b1)*2 + b0
b3 = 1; b2 = 1; b1 = 0; b0 = 0. Тогда:
| Рисунок 1 |
Для перевода целого числа из первой системы счисления во вторую необходимо исходное число разделить на основание второй системы счисления, остаток от деления будет младшей цифрой искомого числа. Частное от деления снова делится на основание второй системы счисления для получения следующей цифры искомого числа. Деление продолжается до тех пор, пока частное от деления не станет меньше основания второй системы счисления (рисунок 1).
Для перевода дробной части числа используют следующую схему Горнера:
Bq= b-1q-1 + b-2q-2 +..+ b-mq-m = q-1(b-1 + q-1(b-2 +...+ b-m q-1)) (3)
| 0 625 , 2 1 250 0 500 1 000 |
0,62510 = 6*10-1 + 2*10-2 + 5*10-3
Определим значения коэффициентов по схеме Горнера:
0,62510 = b-1*2-1+b-2*2-2+b-3*2-3= 2-1(b-1+b-2*2-1+b-3*2-3) =
|
|
|
= 2-1(b-1 + 2-1(b-2 + b-3 *2-1)) = 0,62510
b-1= 1; b-2 = 0; b-3 = 1. Тогда:
0,1012 = 1*2-1 + 0*2-2 +1*2-3 = 0,62510
| Рисунок 2 |
Для перевода правильной дроби из одной системы счисления
в другую необходимо умножить ее на основание целевой системы счисления; целая часть результата умножения при этом является первой цифрой искомого числа. Чтобы найти вторую цифру, дробная часть результата
умножения снова умножается на основание системы счисления. Целая часть полученного результата является новой цифрой искомого числа. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.(рис.2)
К пп. 7-8. Для более короткой записи чисел вместо двоичной обычно применяют системы счисления, имеющие основание 2к: восьмеричная (к=3) или шестнадцатеричная системы счисления (к=4).
Перевод из них в десятичную систему и наоборот делается по общему правилу. Достоинство этих систем состоит в том, что перевод из них в двоичную заменяется записью (без вычислений) каждой цифры числа соответствующим ей двоичным числом. При переводе из двоичной системы двоичное число (группа двоичных цифр) заменяется соответствующей цифрой восьмеричной или шестнадцатеричной системы. При замене следует помнить о том, что для записи восьмеричной цифры требуется три (к=3), а для шестнадцатеричной - четыре двоичных цифры (к=4).
Для перевода из одной системы счисления в другую удобно воспользоваться таблицей 2.
Таблица 2
|
154010 = 60416 = 0110 0000 01002 = 30048
| _1540 16 144 96 16 _100 96 6 16 96 0 6 0 |
48710 = 7478 = 111 100 1112 = 1E716
| _ 487 8 480 _60 8 7 56 7 8 4 7 0 |
К п.9. Лабораторные работы выполняются на персональных копьютерах (рабочих станциях), включенных в локальную сеть кафедры АиТ. Для учебных занятий на сервере выделена студенческая папка, в которой располагаются папки с именем студенческой группы. В этих папках хранится информация по соответствующим дисциплинам и личные папки студентов. Пакет программ "Inf" состоит из файлов Inf1 – Inf8.
Для запуска требуемой программы необходимо выделить мышью программу Inf1, запустить ее двойным щелчком левой кнопки или клавишей клавиатуры "Enter". Дальнейшие действия ясны из меню, и надписей в открывшемся окне программы. Из окна программы можно вызвать инструкцию к лабораторной работе. Некоторые расхождения в результатах по сравнению с ручными расчетами быть из-за разной точности переводов.
К п. 10. Полученные результаты не следует округлять, различие в исходных числах и полученных как раз и свидетельствует о погрешности перевода. Оценить ее для каждой системы счисления следует по формуле: |Аисх - Арасч|
| Аисх |
Погрешность обычно представляют в показательной форме, причем для ее записи достаточно всего одной – двух цифр мантиссы, или даже порядканапример:
3*10-6 или 3,6*10-6или 10-6
Выводы по работе не должны содержать сведения о том, что было выполнено, т.к. это отражено в программе работы, а те особенности умений и навыков, которые были приобретены в ходе выполнения работы. Например, в выводах по работе №1 можно в качестве выводов привести достоинства двоичной системы счисления.
Литература: [1,c. 61-88].
