Касательная к кривой y(f) в точке M0(x0, f(x0)) – предельное положение секущей MN при неограниченном приближении N по кривой к M.
y-f(x0)= f’(x0)(x-x0) – ур-е касательной
Производная- это tg угла наклона (угл.коэфф) касательной к кривой y= f(x) в точке (x0;f(x0))
K=tgα= f’(x0), α-угол наклона касательной
Нормаль к кривой y(f) в точке M0(x0, f(x0))- прямая, прохожящая через M и перпендикулярная касательной к кривой в этой точке.
k2=1/k1
y-f(x0)= -1/ f’(x0) * (x-x0)
f’(x0) характеризует скорость изменения ф-ии f(x) в точке x0- мгновенная скорость.
3*. Правила вычисления производных с демонстрацией на конкретных примерах.
№ | Y=f(x) | Y’=f’(x) |
C | ||
xm | mxm-1 | |
ax(0<a≠1) | axlna | |
ex | ex | |
logax (0<a≠1) | 1/x logae | |
lnx | 1/x | |
sinx | cosx | |
cosx | -sinx | |
tgx | 1/cos2x | |
ctgx | -1/sin2x | |
arcsinx | 1/√1-x2 | |
arccosx | -1/√1-x2 | |
arctgx | 1/1+x2 | |
arcctgx | -1/1+x2 | |
√x | 1/2√x |
1)(CU)’= C*U’
2)(U±V)’= U’±V’
3)(UV)’=U’V+UV’
4)(U/V)=U’V-UV’ / V2
4*. Производная сложной функции с демонстрацией на конкретных примерах.
Если функция u=f(x) имеет в некоторой точке x производную (∃u'x=u’(x))
|
|
Если y=f(u) имеет в соответствующей точке u производную (∃y’u= f’(u))
то y = f(u(x))в точке х также будет иметь производную, равную произведению производной u’(х) и y'(u) ф-й f(u) и u(x).
Y'x= y’u*u’x
5. Производная обратной функции с демонстрацией на конкретных примерах.
Пусть
1) Ф-я f(x) в точке x= x0 имеет конечную и отличную от нуля производную ∃f'(x0)≠0
2) Для нее существует однозначная обратная ф-я ∃x=g(y), непрерывная в соответствующей точке y=y0, где y0=f(x0)
Тогда ∃ g'(y0) =
y’x= x’y= f’(x0)=tgα, α- угол наклона кас. к ОХ;
g’(y0)=tgβ, β- угол наклона кас. к ОY
α +β=П/2, tgβ=1/ tgα
Пр. y= , y'x=?. ∃x= , x’y= , y'x=1/ x’y=1/ 1/x* .