Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением n -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
, (30)
где – постоянные.
Для решения этого уравнения нужно предварительно составить характеристическое уравнение которое получается формально из уравнения (30) заменой производных неизвестной функции на соответствующие степени , и найти корни характеристического уравнения . Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
(31)
Для нахождения общего решения уравнения (31) достаточно знать два линейно независимых частных решения. Для этого составим характеристическое уравнение:
(32)
Решим уравнение (32), т.е. найдем .
Возможны случаи:
а) корни характеристичекого уравнения (32) действительные и различные .
Общее решение уравнения (31) имеет вид:
, (33)
б) корни характеристического уравнения действительные равные .
Общее решение уравнения (31) имеет вид:
, (34)
в) корни характеристического уравнения комплексно сопряженные .
|
|
Общее решение уравнения (31) имеет вид:
, (35)
Примеры. Найти общие решения уравнения:
1.
Решение. Составим характеристическое уравнение , его корни . Следовательно, общее решение данного уравнения будет иметь вид: (по формуле 33).
2.
Решение. Характеристическое уравнение: . Это уравнение имеет два равных корня , т.е. –2 – корень второй кратности. Общее решение будет иметь вид: (по формуле 34).
3.
Решение. Характеристическое уравнение: . Корнями этого уравнения будут и . Общее решение запишется в виде: (по формуле 35).
4.
Решение. Характеристическое уравнение: или . Находим корни: , , т.е. характеристическое уравнение имеет пару комплексных сопряженных корней второй кратности. Общее решение будет иметь вид: .