Некоторые часто встречающиеся в теории вероятностей комбинаторные формулы

При непосредственном подсчете вероятностей случайных событий большую пользу оказывают формулы из раздела математики, называемого комбинаторикой.

I. Комбинации элементов, выбираемых из различных групп.

Пусть имеется различных групп:

1-я группа содержит элементов: ,

2-я группа содержит элементов: ,

3-я группа содержит элементов: ,

-я группа содержит элементов: .

Составляются возможные комбинации из элементов, принадлежащих различным группам, так, что в отдельную комбинацию входит лишь по одному элементу из каждой группы. Сколько таких групп можно составить?

Ответ: (1)

Пример: Бросаются три игральные кости. Подсчитать, сколько будет различных комбинаций выпадения очков.

Решение: , и соответствующие очки на 1, 2 и 3 костях, т.е. рассмотрим три группы, в каждой из которых по 6 элементов (1, 2, 3, 4, 5, 6 очков). Результат каждого выпадения при бросании 3-х игральных костей можно рассматривать как комбинацию, составленную из 3-х элементов, принадлежащих различным группам.

Отсюда

II. Комбинации элементов, выбираемых из одинаковых групп (выбор с возвращением).

Пусть имеется различных элементов . Из них наудачу выбирают последовательно элементов таким образом, что каждый выбранный элемент фиксируется и возвращается обратно, так, что среди последовательно выбранных элементов каждый из элементов может быть выбран несколько раз. Определить число всевозможных различных комбинаций по элементов (комбинации, состоящие из одинаковых элементов, но расположенных в различном порядке, считаются разными).

Таким образом, согласно формуле (1) число всевозможных различных комбинаций по элементов равно:

(2)

Пример. 6 пассажиров садятся в электропоезд, состоящий из 8 вагонов. Каждый пассажир с одинаковой вероятностью может сесть в любой из 8 вагонов. Определить число всевозможных посадок.

Решение: Имеем 8 различных предметов (вагонов), посадка каждого пассажира в любой вагон равносильна выбору 6 вагонов с возвращением из 8. Значит, .

III. Выбор без возвращения (размещения).

Пусть имеются различных элементов. Из них выбираются элементов, причем каждый выбранный фиксируется и не возвращается обратно. Сколько различных комбинаций можно составить из элементов по в каждом? Две комбинации отличаются друг от друга или составом элементов, или порядком их. Такие комбинации называются размещениями из элементов по .

Пример. Составить все размещения из элементов по 2.

Это будут такие комбинации: .

Число всевозможных размещений из элементов по в каждом равно:

(3)

IV. Перестановки.

Перестановками из элементов называют такие комбинации, в каждой из которой входят все данные элементов.

Две перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.

Число всевозможных перестановок из элементов равно:

(4)

Пример. Сколькими различными способами можно разместить на полке четыре разные книги?

V. Сочетания.

Сочетанием из элементов по называются такие комбинации из элементов, каждое из которых содержит элементов и отличается от другого, по крайней мере, одним элементом, но не отличается порядком элементов. .

Пример. Из 4 элементов составить сочетания по 3.

Это будут такие комбинации: .

Число сочетаний из элементов по равно:

(5)

Пример. Из 10 кандидатов на одну и ту же должность должны быть выбраны трое. Сколько может быть разных случаев выборов.

Решение: .

Приложение II

Таблица значений функции Лапласа

0,00	0,0000	0,52	0,1985	1,04	0,3508	1,56	0,4406	2,16	0,4846
0,01	0,0040	0,53	0,2019	1,05	0,3531	1,57	0,4418	2,18	0,4854
0,02	0,0080	0,54	0,2054	1,06	0,3554	1,58	0,4429	2,20	0,4861
0,03	0,0120	0,55	0,2088	1,07	0,3577	1,59	0,4441	2,22	0,4868
0,04	0,0160	0,56	0,2123	1,08	0,3599	1,60	0,4452	2,24	0,4875
0,05	0,0199	0,57	0,2157	1,09	0,3621	1,61	0,4463	2,26	0,4881
0,06	0,0239	0,58	0,2190	1,10	0,3643	1,62	0,4474	2,28	0,4887
0,07	0,0279	0,59	0,2224	1,11	0,3665	1,63	0,4484	2,30	0,4893
0,08	0,0319	0,60	0,2257	1,12	0,3686	1,64	0,4495	2,32	0,4898
0,09	0,0359	0,61	0,2291	1,13	0,3708	1,65	0,4505	2,34	0,4904
0,10	0,0398	0,62	0,2324	1,14	0,3729	1,66	0,4515	2,36	0,4909
0,11	0,0438	0,63	0,2357	1,15	0,3749	1,67	0,4525	2,38	0,4913
0,12	0,0478	0,64	0,2389	1,16	0,3770	1,68	0,4535	2,40	0,4918
0,13	0,0517	0,65	0,2422	1,17	0,3790	1,69	0,4545	2,42	0,4922
0,14	0,0557	0,66	0,2454	1,18	0,3810	1,70	0,4554	2,44	0,4927
0,15	0,0596	0,67	0,2486	1,19	0,3830	1,71	0,4564	2,46	0,4931
0,16	0,0636	0,68	0,2517	1,20	0,3849	1,72	0,4573	2,48	0,4934
0,17	0,0675	0,69	0,2549	1,21	0,3869	1,73	0,4582	2,50	0,4938
0,18	0,0714	0,70	0,2580	1,22	0,3883	1,74	0,4591	2,52	0,4941
0,19	0,0753	0,71	0,2611	1,23	0,3907	1,75	0,4599	2,54	0,4945
0,20	0,0793	0,72	0,2642	1,24	0,3925	1,76	0,4608	2,56	0,4948
0,21	0,0832	0,73	0,2673	1,25	0,3944	1,77	0,4616	2,58	0,4951
0,22	0,0871	0,74	0,2703	1,26	0,3962	1,78	0,4625	2,60	0,4953
0,23	0,0910	0,75	0,2734	1,27	0,3980	1,79	0,4633	2,62	0,4956
0,24	0,0948	0,76	0,2764	1,28	0,3997	1,80	0,4641	2,64	0,4959
0,25	0,0987	0,77	0,2794	1,29	0,4015	1,81	0,4649	2,66	0,4961
0,26	0,1026	0,78	0,2823	1,30	0,4032	1,82	0,4656	2,68	0,4963
0,27	0,1064	0,79	0,2852	1,31	0,4049	1,83	0,4664	2,70	0,4965
0,28	0,1103	0,80	0,2881	1,32	0,4066	1,84	0,4671	2,72	0,4967

0,29	0,1141	0,81	0,2910	1,33	0,4082	1,85	0,4678	2,74	0,4969
0,30	0,1179	0,82	0,2939	1,34	0,4099	1,86	0,4686	2,76	0,4971
0,31	0,1217	0,83	0,2967	1,35	0,4115	1,87	0,4693	2,78	0,4973
0,32	0,1255	0,84	0,2995	1,36	0,4131	1,88	0,4699	2,80	0,4974
0,33	0,1293	0,85	0,3023	1,37	0,4147	1,89	0,4706	2,82	0,4976
0,34	0,1331	0,86	0,3051	1,38	0,4162	1,90	0,4713	2,84	0,4977
0,35	0,1368	0,87	0,3078	1,39	0,4177	1,91	0,4719	2,86	0,4979
0,36	0,1406	0,88	0,3106	1,40	0,4192	1,92	0,4726	2,88	0,4980
0,37	0,1443	0,89	0,3133	1,41	0,4207	1,93	0,4732	2,90	0,4981
0,38	0,1480	0,90	0,3159	1,42	0,4222	1,94	0,4738	2,92	0,4982
0,39	0,1517	0,91	0,3186	1,43	0,4236	1,95	0,4744	2,94	0,4984
0,40	0,1554	0,92	0,3212	1,44	0,4251	1,96	0,4750	2,96	0,4985
0,41	0,1591	0,93	0,3238	1,45	0,4265	1,97	0,4756	2,98	0,4986
0,42	0,1628	0,94	0,3264	1,46	0,4279	1,98	0,4761	3,00	0,49865
0,43	0,1664	0,95	0,3289	1,47	0,4292	1,99	0,4767	3,20	0,49931
0,44	0,1700	0,96	0,3315	1,48	0,4306	2,00	0,4772	3,40	0,49966
0,45	0,1736	0,97	0,3340	1,49	0,4319	2,02	0,4783	3,60	0,499841
0,46	0,1772	0,98	0,3365	1,50	0,4332	2,04	0,4793	3,80	0,499928
0,47	0,1808	0,99	0,3389	1,51	0,4345	2,06	0,4803	4,00	0,499968
0,48	0,1844	1,00	0,3413	1,52	0,4357	2,08	0,4812	4,50	0,499997
0,49	0,1879	1,01	0,3438	1,53	0,4370	2,10	0,4821	5,00	0,499997
	0,1915	1,02	0,3461	1,54	0,4382	2,12	0,4830
0,51	0,1950	1,03	0,3485	1,55	0,4394	2,14	0,4838