Методические указания по выполнению первого задания. Для выполнения задания необходимо ознакомиться с материалом / 1, с

Для выполнения задания необходимо ознакомиться с материалом / 1, с. 201-208/.

Взаимодействие атомов твёрдого тела складывается из сил притяжения и отталкивания.

При воздействии внешней растягивающей нагрузки расстояние между атомами увеличивается и равновесное расположение их в кристалле нарушается. Это приводит к нарушению равенства сил притяжения и отталкивания, характерного для равновесного состояния атомов в решетке, и возникновению внутренних сил, стремящихся вернуть атомы в первоначальные положения равновесия. Величину этих сил, рассчитанную на единицу площади поперечного сечения кристалла, называют напряжением.

Энергия взаимодействия частиц 1 и 2 в твердом теле является функцией расстояния r между ними и описывается кривой U(r), схематически показанной на рис. 1. При смещении частицы 2 из положения равновесия на расстояние х, т.е. при увеличении расстояния между частицами до r = r₀ + х, энергия частицы увеличивается, становясь равной U(r). Изменение энергии U(х) = U (r) — U(r₀) можно найти, разлагая U(r) в ряд Тейлора по степеням х:

(1)

Рис.1. Потенциальная энергия взаимодействия двух атомов.

Ограничиваясь квадратичным членом разложения и учитывая, что в точке О' равна нулю, находим

(2)

где s – жесткость связи.

Это приближенное выражение для изменения энергии частицы вследствие смещения ее из положения равновесия на расстояние х. Приближенным оно является потому, что в разложении (1) мы ограничились квадратичным членом и отбросили члены более высокого порядка. Графически зависимость в таком приближении выражается параболой, показанной на рис. 1. пунктиром.

Сила, которая возникает между частицами 1 и 2 при изменении расстояния между ними на х, равна

. (3)

Как видно из (3), сила пропорциональна первой степени смещения х и направлена к положению равновесия, на что указывает знак минус. Известно, что под действием такой силы тело совершает гармонические колебания. Поэтому такую силу называют гармонической, а приближение (2), приведшее к гармонической силе, называют гармоническим приближением.

Теперь представим себе, что к стержню с поперечным сечением S и длинной L приложена растягивающая сила F, которая изменяет расстояние между соседними атомными плоскостями 1 и 2 на х, вызывая тем самым удлинение стержня на ΔL. Эта сила будет уравновешена внутренней силой F_ВН, численно равной

(4)

где N – число частиц, находящихся в атомном слое площадью S.

Напряжения σ, которые возникнут в растянутом стержне, будут равны

, (5)

где . Умножая и деля правую часть (5) на расстояние между атомными плоскостями r₀, получим:

, (6)

где

, (7)

называется модулем упругости, или модулем Юнга, а

(8)

представляет собой относительное удлинение параметра решётки в направлении действия внешней силы F.

Формула (6) выражает закон Гука.

При наличии касательных напряжений τ закон Гука имеет следующий вид:

, (9)

где G – модель сдвига; γ – относительная деформации сдвига.

Модуль сдвига связан с модулем упругости следующим соотношением

, (10)

где μ – коэффициент Пуассона.

Коэффициент Пуассона для различных материалов находится в пределах 0,2 – 0,5.

Из гармонического приближения непосредственно следует закон Гука, описывающий упругую деформацию твердых тел. Это же приближение было положено в основу рассмотрения тепловых колебаний решетки и построения теории решеточной теплоемкости твердых тел, которая достаточно хорошо согласуется с опытом.

Однако с точки зрения гармонического приближения оказалось невозможным объяснить ряд хорошо известных явлений, таких, например, как тепловое расширение твердых тел, их теплопроводность и др.

Рис.2. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия

частиц твёрдого тела от расстояния между ними

Рассмотрим кривую зависимости потенциальной энергии взаимодействия частиц твердого тела от расстояния между ними (рис. 2). При абсолютном нуле частицы располагаются на расстояниях r ₀, отвечающих минимуму энергии взаимодействия U₀ (на дне потенциальной ямы abc). Эти расстояния определяют размер тела при абсолютном нуле. С повышением температуры частицы начинают колебаться около положений равновесия О. Ради простоты допустим, что частица 1 закреплена неподвижно и колеблется лишь частица 2. Колеблющаяся частица обладает кинетической энергией, достигающей наибольшего значения Е_К в момент прохождения ею положения равновесия О. На рис. 2. энергия Е _К отложена вверх от дна потенциальной ямы. При движении частицы 2 влево от положения равновесия кинетическая энергия расходуется на преодоление сил отталкивания ее от частицы 1 и переходит в потенциальную энергию взаимодействия частицы. Отклонение влево происходит до тех пор, пока вся кинетическая энергия частицы Е_К не перейдет в потенциальную энергию. Последняя увеличится на U(х) = Е_К и станет равной –[U₀–U(х)], а частица 2 сместится предельно влево на расстояние х₁. При движении частицы 2 вправо от положения равновесия кинетическая энергия расходуется на преодоление сил притяжения ее к частице 1 и также переходит в потенциальную энергию взаимодействия частиц. В точке В, отстоящей от положения равновесия на расстоянии х₂, вся кинетическая энергия Е_К переходит в потенциальную, вследствие чего последняя увеличивается на U(х) = E_K и становится равной –[U₀–U(х)].

Если бы частица 2 совершала чисто гармонические колебания, то сила f (x), возникающая при отклонении ее от положения равновесия на расстояние х, была бы строго пропорциональна этому отклонению и направлена к положению равновесия (формула (3)).

Изменение потенциальной энергии U(х) частицы описывалось бы при этом параболой а'bс' (рис.2.) уравнением которой является (2).

Эта парабола симметрична относительно прямой bd, параллельной оси ординат и отстоящей от нее на расстоянии r₀. Поэтому отклонения х₁ и х₂ были бы одинаковыми по величине и середина размаха АВ совпадала бы с положением равновесия О. Нагревание тела в этом случае не могло бы вызывать его расширения, так как с увеличением температу­ры происходило бы лишь увеличение амплитуды колебаний частиц, а средние расстояния между ними оставались бы неизменными.

В действительности же потенциальная кривая abc является, как видно из рис.2, несимметричной относительно прямой bd: ее левая ветвь b а поднимается значительно круче правой ветви bc. Это означает, что колебания частиц в твердом теле являются ангармоническими (негармоническими). Для учета асимметрии потенциальной кривой необходимо в уравнение (2) ввести дополнительный член – gx³/3, выражающий эту асимметрию (g – коэффициент пропорциональности). Тогда (2) и (3) примут следующий вид:

, (11)

. (12)

При отклонении частицы 2 вправо (x>0) член gx³/3 вычитается из sx²/2 и ветвь bc идет положе ветви bс' при отклонении влево (х<0) член gx³/3 прибавляется к sх²/2 и ветвь ba идет круче ветви ba'.

Несимметричный характер потенциальной кривой приводит к тому, что отклонения частицы 2 вправо и влево оказываются неодинаковыми: вправо частица отклоняется сильнее, чем влево (рис.2.). Вследствие этого среднее положение частицы 2 (точка О₁) уже не совпадает с положением равновесия О, а смещается вправо. Это соответствует увеличению среднего расстояния между частицами на .

Таким образом, с нагреванием тела средние расстояния между частицами должны увеличиваться и тело должно расширяться. Причиной этого является ангармонический характер колебаний частиц твердого тела, обусловленный асимметрией кривой зависимости энергии взаимодействия частиц от расстояния между ними.

Степень измененияобъема характеризуется объемным коэффициентом теплового расширения β:

, (13)

где V - объем твердого тела.

Чаще используется коэффициент термического линейного расширения (КТЛР):

, (14)

где l – линейный размер твёрдого тела.

(15)

Расширение твердого тела при нагреве сводится, как это следует из рентгеноструктурного анализа, к увеличению межатомного расстояния.

Произведем оценку коэффициента теплового расширения α. Среднее значение силы, возникающей при смещении частицы 2 от положения равновесия, равно

.

При свободных колебаниях частицы , поэтому .Отсюда находим

. (16)

С точностью до величины второго порядка малости потенциальная энергия колеблющейся частицы определяется соотношением (11), а ее среднее значение равно . Отсюда находим

Подставив это в (16), получим

Помимо потенциальной энергии U(х) колеблющаяся частица обладает кинетической энергией E_K, причем . Полная энергия частицы . Это позволяет выражение для переписать в следующем виде:

.

Относительное линейное расширение, представляющее собой отношение изменения среднего расстояния между частицами к нормальному расстоянию r₀ между ними, равно

,

а коэффициент линейного расширения

, (17)

где

, (18)

c_v – теплоёмкость, отнесённая к одной частице.

Тёплоёмкость c_v твёрдого тела при постоянном объёме выражает изменение тепловой энергии решётки при изменении температуры на 1ºС:

. (19)

Таким образом, коэффициент линейного расширения оказывается пропорциональным теплоемкости тела. В качестве примера на рис.3. показана, зависимость коэффициента линейного расширения и теплоемкости меди от температуры, подтверждающая наличие связи между α и c_v.

Рис.3. Зависимость КЛТР и теплоёмкости меди

от температуры

В области высоких температур энергия линейно колеблющихся частиц равна kT, теплоемкость c_v, отнесенная к частице, равна k. Поэтому коэффициент расширения линейной цепочки атомов будет равен

Подставка числовых значений g,k,s и r₀ для различных твердых тел дает для α величину порядка 10^-4 – 10^-5, что удовлетворительно согласуется с опытом. Опыт подтверждает также, что в области высоких температур α практически не зависит от температуры (рис.3.)

В области низких температур α ведет себя подобно c_v: уменьшается с понижением температуры и при приближении к абсолютному нулю стремится к нулю.

В заключение отметим, что формула, подобная (17) была впервые предложена для металлов Грюнайзеном и имела вид

, (20)

где н – коэффициент сжимаемости металла; V – атомный объем; γ – постоянная Грюнайзена, колеблющаяся для разных металлов от 1,5 до 2,5 и только для стёкол с большим содержанием SiO₂ γ < 1.

Согласно второму уравнению Грюнайзена при увеличении температуры от абсолютного нуля до температуры плавления объем чистых металлов увеличивается примерно на 6%. Это увеличение объема для легкоплавких материалов распределено на малом интервале температур, а для тугоплавких – на большом. Поэтому у тугоплавких металлов коэффициент линейного расширения меньше, чем у легкоплавких.