2015-05-13
631
– коэффициенты врожденной скорости роста численностей; 
–коэффициенты чувствительности к недостатку корма.
Найдем координаты особой точки
e1х - g1хy = 0; x×(e1 - - g1y) = 0 
e2у+ g2хy = 0 y×(e2 + g2х) = 0 
Т.к. все параметры положительны, точка 
расположена в положительном квадранте фазовой плоскости.
Т.к. запасы пищи не безграничны, то выедание ее приведет к голоданию и, это естественно предположить, к уменьшению скоростей роста популяций. Пусть 
-количество пищи, съедаемой представителями обоих видов за единицу времени. Характер этой функции ясен. Она должна стремиться к плюс бесконечности при неограниченном росте хотя бы одного аргумента и стремиться к нулю, когда оба аргумента стремятся к нулю. В простейшем случае можно положить:
, l 
>0,l 
>0
С увеличением 
уменьшаются скорости роста популяций. Таким образом получим систему:
(1.1)
Коэффициенты 
и 
называются коэффициентами чувствительности к недостатку корма. Будем считать функцию достаточно гладкой (т.е. имеющей достаточно большое число производных). Поэтому система (4.1) удовлетворяет условиям теоремы о существовании единственности решения задачи Коши:
|
|
|
, 
и 
- это значения численности видов в начальный момент времени.
Чтобы выяснить дальнейшие свойства решения системы (4) найдем ее первый интеграл. Для этого запишем систему:
Умножим первое на 
, а второе на 
и вычтем из первого второе
Интегрируем:
x,y –численности популяций в момент времени t; t0=0.
(1.2)
Случай 
мало вероятен, поэтому не рассматривается.
1. Пусть 
, тогда
(1.3)
Тогда показатель у экспоненты в (4.2) будет положительным и при 
получим:
Так как 
ограничена, то последнее равенство может выполняться только тогда, когда 
при 
.
Если справедливо неравенство (1.3), т.е., если у второго вида скорость роста 
меньше и чувствительность к недостатку корма больше, чем у первого вида, то второй вид с течением времени исчезает. Можно показать, что первый вид при этом стабилизируется, т.е. численность 
стремится к некоторому отличному от нуля числу. Покажем это для простейшей функции: 
, 
Т.к. 
при 
то начиная с некоторого момента 
величина 
станет столь малой, что ею можно пренебречь и вместо 
в первом уравнении можно записать 
. Иными словами начиная с 
первое уравнение системы может быть записано в виде:
Это уравнение не отличается от уравнения логистического роста Ферхюльста- Перла. Его решение, при 
стремится к постоянной величине равной отношению коэффициентов 
, данном случае 
. Таким образом, при 
функция 
стабилизируется, стремясь к 
.
Итак, при любых начальных данных вид у которого отношение 
больше, выживает и стабилизируется; вид с меньшим отношением 
вымирает.
|
|
|
На рисунке изображен случай, когда начальная численность для 
больше предельного значения 
.Это совершенно необязательно. Из доказанного следует, что первый вид выживает и стабилизируется, каким бы малым ни было начальное значение 
, а второй вид погибнет, сколь бы ни была велика его численность в начальный момент 
.
Теперь представьте себе, что у нас имеется только один вид (однородный штамм) с некоторым отношением 
. В какой-то момент случайно появляется мутант с новым отношением больше прежнего. Тогда, согласно нашей теории, сколь бы мало ни было мутантов в начальный момент, со временем они вытеснят домутантную форму, а сами стабилизируются.
