Устойчивость стационарного состояния. Фазовые портреты

1. Стационарная точка типа узел.

2. Поведение переменных изображается на фазовой плоскости кривыми гиперболического типа. Такая особая точка является неустойчивой и называется особой точкой типа “седло”. Легко видеть, где бы ни находилась изображающая точка в начальный момент, она всегда в конечном счете будет удаляться от равновесия.

3. Изменение переменных во времени носит колебательный характер, а фазовая траектория представляет собой спирали. Особая точка в этом случае называется фокусом. При этом, если колебания затухают, то положение равновесия является устойчивым фокусом, если амплитуда колебаний со временем нарастает, то особая точка является неустойчивым фокусом.

Затухающие колебания

Наростающие колебания

4. В том случае, когда фазовые траектории в окрестности особой точки представляют собой эллипсы, через особую точку не проходит ни одна интегральная кривая.

Такая изолированная особая точка, вблизи которой фазовые траектории представляют замкнутые кривые (эллипсы), “вложенные друг в друга” и охватывающие особую точку, называется центром.

Классическим примером системы, имеющей своей особой точкой центр, является система уравнений Вольтерра.