2015-05-13
482
Механическая система с одной степенью свободы (рис.3.1), состоящая из четырех абсолютно твердых тел, соединенных между собой нерастяжимыми невесомыми нитями (груз 3 подвешен к блоку 1 с неподвижной осью, а груз 4 подвешен к блоку 2 с подвижной осью), приходит в движение из состояния покоя под действием сил тяжести. Считая связи идеальными, определить с помощью общего уравнения динамики ускорение оси (центра масс) блока 2.
1 VA
w1
D A
VD
3 w2 VB
VC
V3 p C B
4 V4
Рис. 3.1.
Дано: m1 = 4 кг, m2 = 2 кг, m3 = 10 кг, m4 = 20 кг, R1 = 40 см, r1 = 20 см, r1 = 30 см, R2 = 10 см.
Определить: a C- ускорение центра масс второго тела.
Решение.
Предположим, что груз 3 движется вниз со скоростью V3. Тогда блок 1 будет вращаться вокруг неподвижной оси против хода часовой стрелки с угловой скоростью w1, блок 2 будет совершать плоско-параллельное движение, поворачиваясь в данное мгновение вокруг мгновенного центра скоростей (точка р на рис.3.1) с угловой скоростью w2, а груз 4 будет двигаться поступательно вверх со скоростью VС. Выразим все скорости через скорость центра масс блока 2:
|
|
|
V4 = VС с учетом поступательного движения груза 4 вместе с нитью, на которой он подвешен к точке С;
w2 = VС/РС = VС/R2 на основании свойств мгновенного центра скоростей;
VА = VВ, так как нить АВ движется поступательно, но VА = w1ОА, а VВ = w2ВР, поэтому w1ОА = w2ВР или с учетом значений ОА = R1, ВР = 2R2 и w2 = VС/R2 получим w1 = 2VС/R1;
V3 = VD с учетом поступательного движения груза 3 вместе с нитью, на которой он подвешен к блоку 1, но VD = w1ОD = w1r1, тогда V3 = 2r1VС/R1.
Выпишем конечные формулы для удобства их использования:
V4 = VС ; w2 = VС/R2; w1 = 2VС/R1; V3 = 2r1VС/R1. (3.1)
Применим общее уравнение динамики для данной механической системы с идеальными связями:
∑dA ak+ ∑dA иk = 0, (3.2)
где ∑dA ak – сумма элементарных работ активных сил,∑dA иk – сумма элементарных работ сил инерции на любом возможном перемещении механической системы.
Активными силами в данной задаче являются силы тяжести четырех тел, из которых Р1 работу не совершает, так как приложена к неподвижной точке (рис.3.2), а работы остальных сил находятся следующим образом:
1 dj1
Mи1
P1
e1
3 Fи2
Mи2
P3 dj2
P2
e2 Fи2 2
Р4
Fи4
Рис. 3.2
∑dA ak = P3ds3 – P4ds4 – P2dsC, (3.3)
где ds3, ds4, dsC – возможные перемещения тел 3, 4 и центра масс тела 2.
Применив принцип Даламбера, приложим соответствующие движениям тел силы инерции Fи3 , Fи4, Fи2 и моменты сил инерции Ми1 и Ми2, которые находятся следующим образом:
Fи3 = m3 a 3; Fи3 = m4 a 4; Fи2 = m2 a С;
Ми1 = I1e1; Ми1 = ICe2 , (3.4)
где I1 = m1r12 – момент инерции блока 1 относительно его оси вращения,
IС = 0,5m2R22 – момент инерции блока 2, представляющего собой сплошной однородный цилиндр, относительно оси, проходящей через его центр масс.
|
|
|
Запишем сумму элементарных работ сил инерции на любом возможном перемещении механической системы:
∑dA иk = – Ми1dj1 – Ми2dj2 – Fи2dsС – Fи3ds3 – Fи4ds4, (3.5)
где dj1 и dj2 – возможные угловые перемещения блоков.
Выразим все возможные перемещения через dsС, используя формулы (3.1):
ds4 = dsС; dj2 = dsС/R2; dj1 = 2dsС/R1; ds3 = 2r1dsС/R1. (3.6)
Выразим все ускорения через a С, продифференцировав по времени формулы (3.1):
a 4 = a С; e2 = a С/R2; e1 = 2 a С/R1; a 3 = 2r1 a С/R1. (3.7)
Подставим величины (3.6) в (3.5) и (3.3), затем подставим выражения работ (3.5) и (3.3) в общее уравнение динамики (3.2), предварительно выразив ускорения по формулам (3.7) и получим:
[2P3r1/R1 - P2 - P4 – (4m1r12/R12 +1,5m2 +4m3r12/R12 +m4) a С]dsС = 0 (3.8)
Поскольку возможное перемещение dsС отлично от нуля, приравняем к нулю выражение в квадратных скобках и решим полученное уравнение относительно неизвестной a С:
a С = (2m3r1/R1 - m2 - m4)g/[4(m1r12+ m3r12)/R12 +1,5m2+m4],
где g – ускорение свободного падения, которое можно принять равным 10 м/с2.
Подставив значения известных величин в последнюю формулу, получим результат a С = - 2,86 м/с2. Знак минус указывает на то, что движение механической системы происходитв обратном направлении.
