Задача Дирехле для уравнения Лапласа в прямоугольнике.
-Гармоническая функция
;
Если брать λ<0, мы получим решение уравнения равное постоянной, а это не удовлетворяет условиям.
Пусть λ>0, например λ=р2
- решение уравнения.
-решение уравнения
Удовлетворим граничным условиям:
; ;
Запишем решение:
(1)
Удовлетворим начальным условиям: 1)
;
2)
;
Для нахождения коэффициентов А и В необходимо решить систему:
Подставив полученные коэффициенты в уравнение (1) получим решение задачи.
Решение задачи о свободных колебаниях бесконечной струны. Формула Деламбера.
Уравнение своб. колебаний однородной струны:
(1) Положим: ;
Преобразовываем уравнение колебаний к виду:
Найдем общий интеграл и получим:
Интегрируя это равенство по ή при фиксированном ξ, получим.
(5) -общий интегралуравнения (1)
Воспользуемся начальными условиями:
(7)
Проинтегрируем (7):
Из равенств: находим:
Таким образом мы определили f2(x) и f1(x) через заданные функции φ и ψ. Подставим в (5) значения f2(x) и f1(x) получим:
|
|
-формула Даламбера!