(условие совместности системы) Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. RgA = RgA*. Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
Доказательство. 1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А->А* не изменяют ранга. 2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше. Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:
A = ~ . RgA = 2. Система несовместна.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений. А = ; = 2 + 12 = 14 не равно 0; RgA = 2; A* = RgA* = 2. |
Элементарные преобразования матриц Вернуться в оглавление: Высшая математика |