Базисный минор матрицы. Ранг матрицы

Определение.  В матрице порядка mxn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

            В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

            Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.
Очень важным свойством элементарных преобразований  матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

            Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.
            Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

            Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

            Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Пример.   Определить ранг матрицы.

~ ~,         RgA = 2.

              Пример: Определить ранг матрицы.

~ ~ ~,    Rg = 2.

Пример. Определить ранг матрицы.

~, => Rg = 2.

            Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Гармонический анализ

Определитель матрицы | Детерминант матрицы

Теорема о базисном миноре

Алгебра логики

Решение произвольных систем линейных уравнений

Вернуться в оглавление: Высшая математика