Студопедия
Обратная связь


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram 500-летие Реформации


Обратная матрица. Свойства

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

            Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:
XA = AX = E,
где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.

            Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.
Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.
Исходя из определения произведения матриц, можно записать:
AX = E => , i=(1,n), j=(1,n),
eij = 0,                      i не равно j,
eij = 1,                       i = j .
Таким образом, получаем систему уравнений:
,
Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

            Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

             

Таким образом, А-1=.

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

,

где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.

            Пример. Дана матрица А = , найти А-1.
det A = 4 - 6 = -2.

M11= 4;       M12= 3;        M21= 2;        M22= 1
x11= -2;      x12= 1;       x21= 3/2;      x22= -1/2

Таким образом, А-1=.

Cвойства обратных матриц.

            Укажем следующие свойства обратных матриц:

1) (A-1)-1 = A;

2) (AB)-1 = B-1A-1

3) (AT)-1 = (A-1)-T.

 


Пример.  Дана матрица А = , найти А3.
А2 = АА =  = ;            A3 = = .

            Отметим, что матрицы  и  являются перестановочными.

 

Пример.    Вычислить определитель .

 = -1

 = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

 = = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

=  = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.
Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.





 

Читайте также:

Алгебраическое дополнение матрицы

Элементы векторной алгебры

Элементарные преобразования матриц

Линейная алгебра

Теория игр

Вернуться в оглавление: Высшая математика

Просмотров: 9550

 
 

© studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам. Ваш ip: 54.196.107.247