Обратная матрица. Свойства

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

            Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:
XA = AX = E,
где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

            Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.
Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.
Исходя из определения произведения матриц, можно записать:
AX = E => , i=(1,n), j=(1,n),
e_ij = 0,                      i не равно j,
e_ij = 1,                       i = j .
Таким образом, получаем систему уравнений:
,
Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

            Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

Таким образом, А^-1=.

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

,

где М_ji- дополнительный минор элемента а_ji матрицы А.

            Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.
det A = 4 - 6 = -2.

M₁₁= 4;       M₁₂= 3;        M₂₁= 2;        M₂₂= 1
x₁₁= -2;      x₁₂= 1;       x₂₁= 3/2;      x₂₂= -1/2

Таким образом, А^-1=.

Cвойства обратных матриц.

            Укажем следующие свойства обратных матриц:

1) (A^-1)^-1 = A;

2) (AB)^-1 = B^-1A^-1

3) (AT)^-1 = (A^-1)^-T.

Пример.  Дана матрица А = , найти А³.
А² = АА =  = ;            A³ = = .

            Отметим, что матрицы  и  являются перестановочными.

Пример.    Вычислить определитель .

 = -1

 = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

 = = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

=  = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.
Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

Алгебраическое дополнение матрицы

Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Булева функция

Линейная алгебра

Теория игр

Вернуться в оглавление: Высшая математика