Передаточная функция.

Конечной целью анализа САР является решение (если это возможно) или исследование дифференциального уравнения системы в целом. Обычно известны уравнения отдельных звеньев, входящих в состав САР, и возникает промежуточная задача получения дифференциального уравнения системы по известным ДУ её звеньев. При классической форме представления ДУ эта задача сопряжена со значительными трудностями. Использование понятия передаточной функции существенно упрощает её.

Пусть некоторая система описывается ДУ вида .

Введя обозначение = p, где p называют оператором, или символом, дифференцирования, и обращаясь теперь с этим символом как с обычным алгебраическим числом, после вынесения x_вых и x_вх за скобки, получают дифференциальное уравнение этой системы в операторной форме:

(a_npⁿ +a_n-1p^n-1 +…+a₁p +a₀)x_вых = (b_mp^m +b_m-1p^m-1 +…+b₁p+b₀)x_вх. (3.38)

Многочлен от p, стоящий при выходной величине,

D(p)=a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀ (3.39)

называется собственным оператором, а многочлен при входной величине – оператором воздействия

K(p) = b_mp^m +b_m-1p^m-1 +…+b₁p+b₀ . (3.40)

Передаточной функцией называется отношение оператора воздействия к собственному оператору:

W(p) = K(p)/D(p) = x_вых/x_вх . (3.41)

В дальнейшем мы будем практически всюду использовать именно операторную форму записи дифференциальных уравнений.

Виды соединений звеньев и алгебра передаточных функций.

Получение передаточной функции САР требует знания правил нахождения передаточных функций групп звеньев, в которых звенья соединены между собой определенным образом. Имеется три типа соединений.

1.Последовательное, при котором выход предыдущего звена является входом для последующего (рис.3.12):

Рис.3.12. Последовательное соединение звеньев.

Как видно из уравнения (3.41), передаточная функция любой системы с одной стороны, - это отношение оператора воздействия к собственному оператору, а с другой – это отношение выходной величины ко входной. В данном случае передаточная функция соединения имеет вид

W_c(p) = x_вых/x_вх = (x_вых/x)(x/x_вх) =W₁(p)W₂(p). (3.42)

2. Параллельное, при котором несколько звеньев имеют общий вход, а выходные величины этих звеньев складываются (рис.3.13):

Рис.3.13. Параллельное соединение звеньев.

Новый значок на этой схеме – сумматор. Если встречается сумматор с закрашенным сектором, это означает, что величина, входящая в этот сектор, изменяет свой знак.

Как и ранее, базируясь на понятии передаточной функции, получаем:

W_с(p) = x_вых/x_вх =x₁/x + x₂/x =W₁(p) + W₂(p) . (3.43)

3. Встречно – параллельное соединение, или охват звена обратной связью (рис.3.14).

Рис. 3.14. Встречно – параллельное соединение.

В зависимости от того, складывается сигнал обратной связи х с входным сигналом х_вх либо вычитается из него, различают положительные и отрицательные обратные связи.

Попрежнему базируясь на свойстве передаточной функции, можем написать

W₁(p) =x_вых/(x_вх±х) ; W₂(p) = x/x_вых ; W_c =x_вых/x_вх . (3.44)

Исключив из первых двух уравнений внутреннюю координату х, получим передаточную функцию для такого соединения:

W_c(p) = W₁(p)/[1±W₁(p)W₂(p)] . (3.45)

Следует иметь в виду, что в последнем выражении знак плюс соответствует отрицательной обратной связи.

В том случае, когда какое-нибудь звено имеет несколько входов (как, например, объект регулирования), рассматриваются несколько передаточных функций этого звена, соответствующие каждому из входов, например, если уравнение звена имеет вид

D(p)y = K_x(p)x + K_z(p)z (3.46)

где K_x(p) и K_z(p) – операторы воздействий соответственно по входам x и z, то это звено имеет передаточные функции по входам х и z:

W^x(p) = K_x(p)/D(p); W^z(p) = K_z(p)/D(p). (3.47)

В дальнейшем в целях сокращения записей в выражениях передаточных функций и соответствующих операторов будем опускать аргумент «p».

Из совместного рассмотрения выражений (3.46) и (3.47) следует, что

y = W^xx+W^zz, (3.48)

то есть в общем случае выходная величина любого звена с несколькими входами равна сумме произведений входных величин на передаточные функции по соответствующим входам.

Передаточная функция САР по возмущению.

Обычный вид структуры САР, работающей по отклонению регулируемой величины, таков:

Рис.3.15. Замкнутая САР.

Обратим внимание на то обстоятельство, что регулирующее воздействие поступает на объект с измененным знаком. Связь между выходом объекта и его входом через регулятор называется главной обратной связью (в отличие от возможных дополнительных обратных связей в самом регуляторе). По самому философскому смыслу регулирования действие регулятора направлено на уменьшениеотклонения регулируемой величины, и потому главная обратная связь всегда отрицательна. На рис. 3.15:

W_o^z - передаточная функция объекта по возмущению;

W_o^x- передаточная функция объекта по регулирующему воздействию;

W_p^y - передаточная функция регулятора по отклонению у.

Дифференциальные уравнения объекта и регулятора выглядят так:

y=W_o^xx +W_o^zz

x = - W_p^уy. (3.49)

Подставив х из второго уравнения в первое и выполнив группировку, получаем уравнение САР:

(1+W_o^xW_p^у)y = W_o^zz . (3.50)

Отсюда передаточная функция САР по возмущению

W_c^z= y/z =W_o^z/(1+W_o^xW_p^у) . (3.51)

Подобным путём можно получить и передаточную функцию САР по управляющему воздействию:

W_c^u = W_o^xW_p^u/(1+W_o^xW_p^y ) , (3.52)

где W_p^u -передаточная функция регулятора по управляющему воздействию.

3.4 Вынужденные колебания и частотные характеристики САР.

В реальных условиях эксплуатации САР нередко подвергается действию периодических возмущающих сил, что сопровождается периодическими изменениями регулируемых величин и регулирующих воздействий. Таковы, например, колебания судна при ходе на волнении, колебания частоты вращения гребного винта и других величин. В ряде случаев амплитуды колебаний выходных величин системы могут достигать недопустимо больших значений, и это соответствует явлению резонанса. Последствия резонанса часто губительны для испытывающей его системы, например, опрокидывание судна, разрушение двигателя. В системах регулирования такие явления возможны при изменении свойств элементов, вызванном износами, заменой, перенастройкой, отказами. Тогда возникает необходимость либо определения безопасных диапазонов эксплуатационных условий, либо надлежащей настройки САР. Здесь будут рассмотрены эти вопросы в приложении к линейным системам.

Пусть некоторая система имеет нижепоказанную структуру:

Рис.3.16. САР в режиме вынужденных колебаний.

Если на систему действует периодическое воздействие х с амплитудой А_х и круговой частотой w, то после окончания переходного процесса на выходе установятся колебания той же частоты с амплитудой А_у и смещенные относительно входных колебаний на фазовый угол j. Параметры выходных колебаний (амплитуда и фазовый сдвиг) зависят от частоты вынуждающей силы. Задача заключается в определении параметров выходных колебаний по известным параметрам колебаний на входе.

В соответствии с передаточной функцией САР, показанной на рис.3.14, дифференциальное уравнение её имеет вид

(a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀)y=(b_mp^m+b_m-1p^m-1+…+b₁p+b₀)x. (3.53)

Подставим в (3.53) выражения для х и у, приведенные на рис. 3.14:

(a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀)A_ysin(wt+j)=

=(b_mp^m+b_m-1p^m-1+…+b₁p+b₀)A_xsinwt. (3.54)

Если рассматривать картину колебаний, смещенную на четверть периода, то в уравнении (3.54) функции синусов сменятся функциями косинусов:

(a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀)A_ycos(wt+j)=

=(b_mp^m+b_m-1p^m-1+…+b₁p+b₀)A_xcoswt. (3.55)

Умножим уравнение (3.54) на i = и сложим полученное с (3.55):

(a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀)A_y[cos(wt+j)+isin(wt+j)]=

= (b_mp^m+b_m-1p^m-1+…+b₁p+b₀)A_x(coswt+isinwt). (3.56)

Применяя формулу Эйлера

exp(±ibt)=cosbt ± isinbt,

приведём уравнение (3.56) к виду

(a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀)A_yexp[i(wt+j)]=

= (b_mp^m+b_m-1p^m-1+…+b₁p+b₀)A_xexp(iwt). (3.57)

Выполним операцию дифференцирования по времени, предусмотренную оператором р=d/dt:

[a_n(iw)ⁿ+a_n-1(iw)^n-1+…+a₁iw+a₀]A_yexp[i(wt+j)]=

=[b_m( iw)^m+b_m-1( iw)^m-1+…+b₁iw+b₀]A_xexp(iwt). (3.58)

После простых преобразований, связанных с сокращением на exp(iwt), получаем

(3.59)

Правая часть выражения (3.59) похожа на выражение передаточной функции САР и может быть получена из него заменой p=iw. По аналогии она называется комплексной передаточной функцией W(iw), или амплитудно - фазовой характеристикой (АФХ). Нередко употребляют также термин частотная характеристика. Понятно, что эта дробь является функцией комплексного аргумента и может быть представлена ещё и в таком виде:

W(iw) = M(w) +iN(w), (3.60)

где M(w) и N(w) – соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики.

Отношение А_у/А_х есть модуль АФХ и является функцией частоты:

А_у/А_х=R(w)

и называется амплитудно- частотной характеристикой (АЧХ). Фазовый

сдвиг j =j (w) - также функция частоты и называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). Вычисляя R(w) и j(w) для диапазона частот (0…¥), можно построить на комплексной плоскости в координатах M(w) и iN(w) график АФХ (рис.3.17).

Рис.3.17. График АФХ.

Очевидны следующие соотношения:

M = Rcosj; N = Rsinj;

; j = arctg(N/M). (3.61)

Амплитудно-частотная характеристика.

АЧХ любой системы представляет наибольший интерес, поскольку даёт возможность определить амплитуду колебаний выходной величины при известных амплитуде и частоте входной величины. На рис. 3.18 показаны возможные на практике виды АЧХ.

Рис.3.18. Амплитудно-частотные характеристики.

На АЧХ системы 1 виден резонансный пик, соответствующий наибольшей амплитуде вынужденных колебаний. Работа в зоне около резонансной частоты может оказаться губительной и часто вообще недопустима правилами эксплуатации конкретного объекта регулирования. АЧХ вида 2 не имеет резонансного пика и для механических систем более предпочтительна. Видно также, что с увеличением частоты амплитуда выходных колебаний уменьшается. Физически это легко объясняется: любая система в силу присущих ей инерционных свойств легче подчиняется раскачиванию низкими частотами, чем высокими. Начиная с некоторой частоты, колебания на выходе становятся незначительными, и эту частоту называют частотой среза, а диапазон частот ниже частоты среза называют полосой пропускания частот. В теории автоматического регулирования за частоту среза принимают такую, при которой значение АЧХ в 10 раз меньше, чем при нулевой частоте. Свойство системы гасить высокочастотные колебания называется свойством фильтра низких частот.

Рассмотрим методику расчета АЧХ на примере звена второго порядка, дифференциальное уравнение которого

(T₂²p² + T₁p + 1)y = kx. (3.62)

В задачах вынужденных колебаний часто используют более наглядную форму уравнения

(p² +2xw₀p + w₀²)y = kw₀²x, (3.63)

где называется собственной частотой колебаний при отсутствии затухания, x =T₁w₀/2 - коэффициент затухания.

Передаточная функция при этом выглядит так:

(3.64)

Заменой p = iw получаем амплитудно-фазовую характеристику

(3.65)

Используя правило деления комплексных чисел, получаем выражение для АЧХ:

(3.66)

Определим резонансную частоту, при которой АЧХ имеет максимум. Это соответствует минимуму знаменателя выражения (3.66). Приравнивая нулю производную знаменателя по частоте w, имеем:

2(w₀² - w²)(-2w) +4x²w₀²*2w = 0, (3.67)

откуда получаем значение резонансной частоты, не равное нулю:

w_рез = w₀Ö 1 - 2x². (3.68)

Проанализируем это выражение, для чего рассмотрим отдельные случаи, которым соответствуют различные значения коэффициента затухания.

1. x = 0. Резонансная частота равна собственной, и модуль АЧХ при этом обращается в бесконечность. Это случай так называемого математического резонанса.

2. . Поскольку частота выражается положительным числом, а из (68) для этого случая получается либо нуль, либо мнимое число, следует вывод, что при таких значениях коэффициента затухания АЧХ не имеет резонансного пика (кривая 2 на рис.3.18).

3. . АЧХ имеет резонансный пик, причём с уменьшением коэффициента затухания резонансная частота приближается к собственной и резонансный пик становится выше и острее.

Вернуться в оглавление: ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ