Предисловие автора

Хотя может показаться, по крайней мере, на первый взгляд, что настоящее исследование имеет чисто "специализированный" характер, приступая к его написанию, мы руководствовались целями уточнения и более тщательного пояснения некоторых идей, к которым мы обращались в различных случаях использования нами математического символизма, и уже этой причины было бы достаточно для оправдания появления настоящего труда. Тем не менее мы желаем дополнительно заметить, что есть и другие, вторичные причины, в особенности касающиеся того, что можно назвать "историческим" аспектом вопроса; этот аспект, в самом деле, вовсе не лишён интереса с нашей точки зрения, поскольку все дискуссии, возникавшие по предмету природы и смысла теории исчисления бесконечно малых, являют собой поразительный пример того полного отсутствия какого-либо принципиального основания, который характеризует профанные науки, то есть те единственные науки, которые учёные современности знают и даже считают возможными. Мы уже неоднократно отмечали, что большинство из этих наук, даже в той степени, в которой они всё ещё соответствуют какой-то реальности, представляют собой не более чем примитивные девальвированные выжимки из некоторых традиционных наук древности: нижние области этих наук, утеряв контакт с областью принципов и утратив таким образом свой истинный исконный смысл, в конце концов претерпели самостоятельное развитие и стали рассматриваться как самодостаточное знание, хотя в действительности этот процесс означал, что их собственная значимость как знания таким образом сводилась почти к нулю. Это особенно очевидно в случае с физическими науками, но, как мы ранее поясняли в другой работе¹, в этом отношении не является исключением и современная математика, если сравнить её с той наукой о числах и геометрией, которые были известны древним; когда мы говорим в данном случае о древних, под ними следует понимать в равной степени и представителей "классической" античности, как на то указывает малейшее знакомство с учениями пифагорейцев и платоников – или хотя бы должно указывать, если не принимать во внимание невероятное отсутствие понимания их учений теми, кто сегодня провозглашает себя их интерпретаторами. Если бы это непонимание не было настолько абсолютным, то как могло бы вообще поддерживаться, например, мнение об "эмпирическом" происхождении упомянутых наук? Ибо в реальности они выглядят напротив тем более далёкими от какого-либо "эмпиризма", чем глубже во времени исследователь погружается в исследование их корней, и это вообще равным образом справедливо для всех отраслей научного знания².

1 см. Царство количества и знамения времени.

2 см. Различные работы (сборник) (1976), ч. 3, гл. 1. (ред.)

Математики эпохи модерна, а особенно те из них, которые являются нашими современниками, похоже, вообще находятся в неведении относительно того, чем в действительности является число; и, подчёркивая это, мы не намереваемся говорить о числе исключительно в аналогическом и символическом смысле, как в понимании пифагорейцев и каббалистов (что было бы слишком очевидным), но – и это может показаться более странным и почти парадоксальным – просто о числе в его обычном и строго количественном смысле. В самом деле, вся их наука сводится к вычислениям в самом узком смысле этого слова³, то есть к простому набору более-менее искусственных процедур, которые, коротко говоря, обладают ценностью только в отношении к обусловленным ими практическим применениям. В сущности, это равнозначно тому, что они заменяют число цифрой, записью числа*; при этом, смешение этих двух понятий сегодня настолько распространено, что его легко можно встретить повсеместно, даже в разговорных выражениях⁴. Цифра же, запись числа, строго говоря, является не более чем оболочкой числа; мы даже не говорим – его телом, так как, в некоторых отношениях, составляющей истинное тело числа с полным основанием может считаться скорее его геометрическая форма, как на то указывают теории древних о многоугольниках и многогранниках, если их рассматривать в свете числового символизма; и, вместе с тем, это находится в полном согласии с тем фактом, что любое "вотеление" обязательно подразумевает "пространственное представление". Тем не менее мы не имеем намерения утверждать, что цифры сами по себе являются чисто произвольными знаками, форма которых определена только прихотью одного или более лиц; очевидна необходимость существования как цифровых, так и буквенных символов – притом в некоторых языках эти типы символов не различаются⁵ – и как к первому, так и к другому разряду применимо представление об иероглифическом, то есть идеографическом или буквенном происхождении, и это справедливо по отношению ко всем письменным системам без исключения, каким бы затуманенным ни было это происхождение в некоторых случаях по причине более или менее недавних искажений и изменений.

3 Французское слово calcul имеет двойное значение: "исчисление" и "вычисления". (ред.)

* numeral – цифра, нумерал, запись числа, представление числа. (прим. перев.)

4 То же самое относится и к некоторым "псевдо-эзотерикам", которые знают столь мало о предмете разговора, что они подобным образом постоянно неуклонно смешивают эти два понятия в своих фантастических измышлениях, которыми они пытаются подменить традиционную науку о числах.

5 В качестве примеров можно привести иврит и греческий язык. В равной степени таким же языком был арабский до введения числовой записи индийского происхождения, которая после некоторой модификации перешла от арабов в Европу в Средние века; в этом отношении можно заметить, что слово "цифра" [фр. chiffre] это не что иное, как арабское "шифр", хотя это слово в действительности является всего лишь обозначением нуля. С другой стороны, на иврите "сафар" означает "считать" или "перечислять" и в то же время "писать", откуда образуются слова "сефер" – "писание" или "книга" (по-арабски "сифр", что обозначает, в частности, священную книгу), и "сефар" – "нумерация" или "счёт"; от последнего слова происходит также термин "Сефирот" в Каббале, обозначающий основные "цифры", уподобляемые божественным атрибутам.

Что является несомненным, так это то, что в своей нотации* математики употребляют символы, значение которых они уже не понимают и которые представляют собой что-то вроде рудиментов забытых традиций; и, что ещё более вызывает опасения, они не только не задаются вопросом о возможном значении этих символов, но и, похоже, не желают, чтобы эти символы вообще имели какой-либо смысл. В самом деле, они всё больше и больше склоняются к тому, чтобы считать любого рода нотацию некой простой "условностью", под которой они понимают нечто, изложенное абсолютно произвольным образом, – но это абсолютно невозможно, так как никто никогда не создаёт любого рода систему условностей или договорённостей без определённых причин для её создания и для создания именно такой системы, а не иной; только для тех, кто игнорирует эту причину, система условностей может казаться произвольной, так же как только для тех, кто игнорирует причину события, оно может казаться "случайным". Именно это происходит в данном случае, и в этом можно усмотреть одно из крайних последствий отсутствия принципиальных оснований, что даже может привести науку (или нечто, обозначаемое этим именем – ибо в настоящее время она более не заслуживает этого имени в любом отношении) к потере всякого характера достоверности. Более того, благодаря самому представлению о науке в настоящее время как о чём-то исключительно количественном** этот "конвенционализм" постепенно распространился из математики на относительно молодые теории физических наук, которые таким образом всё более отдаляются от реальности, которую они призваны объяснять; мы достаточно говорили об этом в другой работе***, чтобы воздержаться от дальнейших замечаний по этому поводу, тем более что сейчас мы намерены детально заняться исключительно математикой. В этом отношении мы добавим только, что как только упускается из виду смысл любой нотации, становится крайне вероятным переход от её легитимного и корректного использования к использованию, являющемуся нелегитимным и, фактически, не соответствующему ничему вообще, а порой даже вовсе нелогичному. Это может показаться весьма удивительным в случае такой науки как математика, которая по своей природе имеет особо тесные связи с логикой, однако всё же является печальной истиной то, что в математических категориях, в том виде, в каком они обыкновенно рассматриваются сегодня, можно обнаружить многочисленные нелогичности.

* notation – нотация, запись, система записи, представление чисел. (прим. перев.)

** Очевидно, под "представлением о науке как о чём-то исключительно количественном" (на что неоднократно обращается внимание в его работах) Генон имеет в виду тенденцию науки модерна к "математизации" наук, прежде всего, физики, отмечаемую исследователями в связи с проблематикой дискретного и континуального (см. прим. к гл. 16). (прим. перев.)

*** Рассмотрению упомянутой "революции количества" в науке модерна полностью посвящена книга Генона "Царство количества и знамения времени". (прим. перев.)

Одним из наиболее примечательных примеров этих несовместимых с логикой категорий является тот, который следует рассмотреть в первую очередь (хотя, конечно, он является не единственным из таких примеров, с которыми мы столкнёмся по ходу нашего изложения) – это категория так называемого математического или количественного бесконечного, которая является источником почти всех проблем, которые могут возникать в связи с исчислением бесконечно малых или, точнее сказать, в связи с методом бесконечно малых, ибо в данном случае мы имеем дело с теорией, которая (независимо от мнений "конвенциалистов") выходит за пределы простых "вычислений" в обыкновенном смысле этого слова; и эта категория является источником всех проблем без исключения, кроме разве что тех, которые происходят от ошибочного или неполного представления о понятии "предела", которое должно считаться ключевым, если методу бесконечно малых желают придать необходимую строгость и рассматривать его как нечто большее, нежели просто метод приближений. Кроме того, как мы увидим, необходимо проводить различие между случаями, в которых это так называемое бесконечное является просто полнейшим абсурдом, то есть противоречивым самим по себе понятием – как понятие "бесконечного числа", и случаями, в которых оно только применяется ненадлежащим образом в смысле неопределённого; но не стоит по этой причине думать, что смешение понятий бесконечного и неопределённого может быть сведено к проблеме слов, так как в действительности оно находится в области обозначаемых этими словами идей. Что примечательно, это смешение (факт которого, будь он однажды прояснён, смог бы пресечь столь многие дискуссии) обнаруживается в писаниях самого Лейбница, который вообще считается изобретателем исчисления бесконечно малых, хотя мы предпочли бы назвать Лейбница "автором его формулировок", ибо его метод имеет отношение к определённым реальностям, которые как таковые располагают существованием, независимым от тех, кто их осмысляет и выражает, более или менее корректно; реальности математического порядка, как и все другие реальности, могут быть только открыты, а не изобретены – в то время как наоборот случаем чистейшего "изобретения" является (что чрезвычайно часто случается в этой области) самопотакание в увлечённости "игрой" нотации, приводящей в область чистейшей фантазии. Тем не менее будет несомненно нелегко втолковать некоторым математикам эту разницу, поскольку они охотно воображают, что вся их наука является и должна быть не более чем "продуктом человеческого ума", что (если допустить, что мы могли бы разделять их точку зрения) означало бы низведение этой науки до абсолютно несерьёзного уровня. Как бы то ни было, но Лейбниц так и не смог чётко изъяснить принципы своего исчисления, и это указывает на то, что в этом исчислении было нечто, превосходившее мышление Лейбница, нечто, будто бы навязанное ему без его сознательного участия; если бы он принял это во внимание, он, по всей вероятности, никогда бы не вступал в какие бы то ни было споры о "первенстве" с Ньютоном. Кроме того, такого рода споры всегда совершенно напрасны, ибо идеи, в той степени, в которой они истинны, не являются собственностью какого-либо лица, что бы ни утверждал современный "индивидуализм"; единственная категория, которая с полным правом может быть приписана на правах собственности отдельному человеку – это ошибка. Мы не будем более распространяться по этому вопросу, что могло бы увести нас достаточно далеко от предмета нашего исследования, хотя в некоторых отношениях, пожалуй, было бы небесполезно прояснить, что роль лиц, именуемых "великими", является зачастую по большей части ролью, подразумевающей "восприятие" или "получение", хотя, как правило, именно они сами первыми впадают в заблуждение относительно собственной "оригинальности".

В настоящее время нас непосредственно занимает следующее: если мы отмечаем изъяны такого рода у Лейбница – изъяны тем более серьёзные, что они имеют отношение прежде всего к области принципов – то что может быть сказано об изъянах, обнаруживаемых у других современных философов и математиков, для которых Лейбниц является несомненным высочайшим авторитетом? Этим своим авторитетом Лейбниц обязан, с одной стороны, изысканиям, проведённым им по схоластическим доктринам Средних веков (хотя он не всегда полностью понимал их), а с другой стороны, некоторой эзотерической информации преимущественно розенкрейцеровского происхождения или влияния⁶, информации, очевидно, весьма неполной и даже фрагментарной, которую он к тому же иногда применял весьма неудачно, как мы увидим далее на некоторых примерах. Именно к этим двум "источникам" (говоря языком историков) можно определённо отнести почти всё, что является подлинно значимым в его теориях. И именно это также позволило ему, хотя и не вполне, дать отповедь картезианству, которое в области философии и науки представляло собой весь набор тенденций и концепций, наиболее непосредственно определивших эпоху модерна. Этих кратких замечаний достаточно, чтобы в нескольких словах обрисовать сущность личности Лейбница, и тот, кто стремится понять его, не должен выпускать из виду этой общей информации, которую мы по этой причине посчитали нужным изложить в самом начале нашей работы. Но следует оставить эти предварительные соображения и перейти к рассмотрению собственно вопросов, проливающих свет на истинный смысл теории исчисления бесконечно малых.

6 Неоспоримый признак такого влияния обнаруживается в герметической фигуре, помещённой Лейбницем в заглавии его трактата " De Arte Combinatoria ": это изображение Rota Mundi, в котором в центре двойного креста из стихий (огонь, вода, воздух и земля) и качеств (горячее, холодное, сухое и влажное) находится символ пятого элемента в виде розы с пятью лепестками (соответствующий эфиру, понимаемому как самостоятельный элемент и как принцип четырёх стихий); естественно, эта "визитная карточка" была обойдена вниманием всех без исключения академических комментаторов.