Краткие теоретические сведения. Исследование влияния характера элементов цепи

Лабораторная работа №2.3

Исследование влияния характера элементов цепи

На форму кривой несинусоидального тока

Цель работы – изучить влияние резистора, катушки и конденсатора на форму кривой тока при действии несинусоидального напряжения с последующей оценкой кривых. В результате выполнения работы студенты должны знать влияние характера элемента цепи на гармонический состав тока при несинусоидальном напряжении источника; уметь выполнять экспериментальным и расчётным путями гармонический анализ кривой тока; приобрести навыки сравнения различных периодических несинусоидальных функций.

Задачи работы – получение кривых тока в цепи при различных по характеру элементах (резистор, катушка, конденсатор) и заданном несинусоидальном напряжении источника; качественная оценка влияния вида элемента на гармонический состав тока; разложение на гармонические составляющие кривых напряжения и тока и сравнительный анализ по значениям оценочных коэффициентов.

Краткие теоретические сведения

В большинстве электротехнических и радиотехнических устройств чаще встречаются не гармонические (т. е. синусоидальные) колебания, а периодические несинусоидальные сигналы. Несинусоидальный режим у них является нормальным режимом работы.

Несинусоидальные токи появляются в следующих случаях:

– в линейной цепи при подключении к ней несинусоидального источника;

– в цепи, содержащей хотя бы один нелинейный элемент (даже при подключении синусоидального источника);

– в линейной цепи при подключении к ней нескольких синусоидальных источников разных частот.

Для возможности анализа явлений, происходящих в цепях с периодическими несинусоидальными сигналами, эти сигналы представляют с помощью тригонометрического ряда Фурье в виде наложения постоянной и синусоидальных составляющих, называемых гармониками:

, (2.3.1)

где ω – частота несинусоидального сигнала, A₀ – постоянная составляющая, k – номер гармоники, A_mk – амплитуда k -той гармоники, ψ_k – её начальная фаза.

Основной параметр гармоники – её номер k. Он определяет частоту этой гармоники:

(2.3.2)

Исходя из номеров, различают следующие гармоники:

– основная или первая гармоника: её номер k= 1; частота первой гармоники совпадает с частотой несинусоидального сигнала ω₁=kω=ω.

– высшие гармоники: гармоники с номерами 1< k <¥; амплитуды высших гармоник A_mk, как правило, существенно меньше амплитуды основной гармоники A_m1.

– нулевая гармоника: её номер k= 0, её частота ω ₀ = 0. Нулевой гармоникой называют постоянную составляющую несинусоидального сигнала.

Совокупность гармонических составляющих периодического несинусоидального сигнала образует дискретный (или линейчатый) спектр этого сигнала. Чаще всего изображают спектр амплитуд – зависимость амплитуд гармоник A_mk от частоты kω.

Если задана кривая несинусоидального сигнала и требуется узнать его гармонический состав, то разложение кривой в ряд Фурье производят графоаналитическим методом. Это приближённый метод расчёта, который основан на замене определённого интеграла суммой конечного числа слагаемых. При этом период несинусоидального сигнала разбивают на равные части (обычно достаточно 24 или 18), а затем находят различные составляющие ряда Фурье.

Постоянную составляющую находят как среднее значение за период:

, (2.3.3)

где p – число равных участков, на которые разбивается полупериод несинусоидальной кривой; n – номер участка; a(n) – значение сигнала в конце n -го участка.

Для определения амплитуды и начальной фазы k -той гармоники сначала находят амплитуды синусной и косинусной составляющих этой гармоники:

(2.3.4)

При наличии амплитуд синусной и косинусной составляющих каждой гармоники ряд записывается в следующем виде:

. (2.3.5)

Амплитуду и начальную фазу k -той гармоники находят из амплитуд её синусной и косинусной составляющих по известным формулам:

(2.3.6)

При несинусоидальных периодических процессах, как и при синусоидальных, обычно под значением ЭДС, тока или напряжения понимают действующее значение. Кроме того, именно действующие значения измеряет большинство электроизмерительных приборов (в частности, электромагнитной, электродинамической и тепловой систем). Действующее значение несинусоидального сигнала аналитически определяют из действующих значений всех его гармоник:

(2.3.7)

Перед тем как проводить разложение несинусоидальной кривой в ряд Фурье, следует выяснить, не обладает ли данная кривая каким-либо видом симметрии. Дело в том, что наличие симметрии позволяет заранее предсказать, какие составляющие будут в ряду, а каких не будет. Основных видов симметрии всего три и определяются они основными элементами Декартовой плоскости координат:

- если несинусоидальная функция повторяет свои значения через каждые полпериода, но при этом меняет знак, то кривая этой функции симметрична относительно оси абсцисс; в ряду этой функции не будет нулевой и чётных гармоник (k=2,4,6…).

- если несинусоидальная функция имеет одинаковые значения как в момент времени t, так и в момент времени -t, то кривая этой функции симметрична относительно оси ординат (такие сигналы встречаются в схемах выпрямления переменного тока); в ряду этой функции не будет синусных составляющих.

- если несинусоидальная функция в разные по знаку моменты времени меняет свой знак, но сохраняет значение по модулю, то кривая этой функции симметрична относительно начала координат (такие сигналы встречаются в схемах умножения частоты); в ряду этой функции не будет постоянной и косинусных составляющих.

Возможны и сочетания сразу 2-х видов симметрии у одной несинусоидальной кривой.

Для количественной оценки различий в формах несинусоидальных кривых, симметричных относительно оси абсцисс, применяются следующие коэффициенты:

– коэффициент отношения амплитуд A_mk / A_m1 показывает удельный вес высших гармоник по сравнению с основной;

– коэффициент амплитуды K_A=A_m / A показывает во сколько раз амплитуда несинусоидального сигнала больше его действующего значения (у синусоиды );

– коэффициент искажения K_И=A₁ / A показывает удельный вес основной гармоники в несинусоидальном сигнале (у синусоиды ),

где A_m1 и A_mk – амплитуды соответственно первой и k -той гармоник; A_m – максимальное (амплитудное) значение несинусоидальной функции; A и A₁ – действующие значения несинусоидальной функции и её первой гармоники.

Полное сопротивление любого элемента электрической цепи зависит от частоты колебаний тока, протекающего через него. Реальные резистивные элементы не являются исключением из этого правила, так как их конструктивные особенности неизбежно приводят к появлению нежелательных, или паразитных, ёмкостей и индуктивностей.

Таким образом, при прохождении несинусоидального сигнала через электрическую цепь различные гармоники этого сигнала встречают разные сопротивления, зависящие от частоты гармоники. В результате, на выходе электрической цепи получается уже другой несинусоидальный сигнал, у которого форма кривой и гармонический спектр отличны от формы кривой и гармонического спектра исходного сигнала.