Свойства линейных электрических цепей

1. Принцип наложения

Принцип наложения следует из линейности системы уравнений Кирхгофа для линейных цепей.

Ток в “ К ” ветви равен алгебраической сумме токов, вызванных каждым источником в отдельности:

здесь: e_k – источник ЭДС “к”-ой ветви;

e_m – источник ЭДС “m”-ой ветви;

g_kk – входная проводимость “к”-ой ветви;

g_km – взаимная проводимость между “к”-ой и “m”-ой ветвями (см. принцип взаимности).

Если в системе уравнений Кирхгофа, составленной для электрической цепи, по очереди оставлять по одному источнику, приравнивая остальные к нулю (оставляя, при этом, их внутренние сопротивления) и определять для этого источника токи во всех ветвях, а затем сложить, таким образом, токи в отдельных ветвях, то суммарные токи будут удовлетворять исходной системе уравнений Кирхгофа.

Этот принцип лежит в основе метода наложения расчета эл. цепей. В этом случае поступают следующим образом: поочередно рассчитывают токи, возникающие в электрической цепи от действия каждого источника в отдельности, удаляя остальные источники и оставляя только их внутренние сопротивления. А затем токи в ветвях находят алгебраическим сложением.

В тех случаях, когда в электрической цепи надо выделить один источник или группу источников, поступают так. Рассчитывают ток от группы источников, удаляя из цепи этот один источник, а затем рассчитывают ток от этого источника, удаляя остальные источники. Тогда,

Пример Расчет эл. цепи методом наложения.

Вариант 1.

Вариант 2.

2. Теорема об эквивалентном источнике.

Активный двухполюсник по отношению к рассматриваемой ветви (другому активному двухполюснику), можно заменить эквивалентным источником ЭДС, величина каждой равна напряжению холостого хода на зажимах этого двухполюсника, а внутреннее сопротивление – входному сопротивлению двухполюсника (теорема Тевенена).

где:

Тот же самый активный двухполюсник можно заменить эквивалентным источником тока, ток которого равен току короткого замыкания этой ветви, а внутренняя проводимость – входной проводимости двухполюсника (теорема Нортона).

где:

3. Метод эквивалентного источника основан на теореме об эквивалентном источнике. По отношению к некоторой ветви, в которой надо определить ток всю остальную сложную электрическую цепь заменяют эквивалентным источником, а затем из схем а) или б) определяют ток.

Пример 1. Даны: Необходимо вычислить

а) Определение е_Э

Составим уравнение 2-го закона Кирхгофа:

Для вычисления U_ХХ надо знать токи и для этого воспользуемся методом контурных токов.

Следовательно

б) Определение R_Э. Удаляем источник (закорачиваем е₅ и обрываем ветвь с J).

в) вычисление тока i ₃

Пример 2.

Дано:

Найти параметры активного двухполюсника

, эквивалентного данной схеме относительно зажимов “a” и”b”. Нарисовать схему замещения этого двухполюсника.

Решение:

В соответствиями с теоретическими положениями для определения параметров эквивалентного генератора (активного двухполюсника) необходимо найти в исходной схеме напряжение между точками “a” и”b”, называемого напряжением холостого хода . Известно, что для расчета любого напряжения в какой-либо схеме, предварительно следует рассчитать в этой схеме токи в ветвях (токораспределение). После расчета токораспределения любое напряжение может быть рассчитано с использованием II закона Кирхгофа. Для этого достаточно выбрать замкнутый контур в схеме, часть которого проходила бы по стрелке неизвестного напряжения, а остальная часть – по ветвям схемы. .

В данной цепи в выведенных зажимах “a” и”b” ток отсутствует, так как его путь обрывается “разрывом” между точками “a” и”b”. Следовательно, расчетная схема для определения токораспределения имеет вид (рис.2). В этой схеме два неизвестных тока и . Проведем расчет этих токов по методу контурных токов (МКТ). Количество уравнений по МКТ должно быть равно количеству уравнений, составляемых по II закону Кирхгофа. Для данной схемы по II закону Кирхгофа следует составить одно уравнение. (В схеме два “сложных” узла (1) и (2), т.е. , поэтому по I закону Кирхгофа будет уравнение, а всего уравнений Кирхгофа – 2 по количеству неизвестных токов). Расчетный контур по МКТ выбирается в схеме проходящим не через источник тока, а с источником тока будет связан другой контур, контурный ток которого известен и равен току источника тока J, и направление его будет совпадать со стрелкой тока источника.

Направление контурных токов, расчетного и известного приведены на рис. 2.

Уравнение по МКТ имеет вид:

где - собственное сопротивление контура 11;

- смежное сопротивление между контурами 11 и 22;

- контурная ЭДС контура 11.

Решая это уравнение находим:

Истинные токи схемы находятся из контурных по известному правилу: например: истинный ток получается наложением контурных токов и то есть

Аналогично:

После расчета токов схемы и выберем в схеме рис. 1 замкнутый контур (пунктирный) и составим для него уравнение по II закону Кирхгофа:

или , откуда .

Следовательно ЭДС эквивалентного генератора .

При числовых расчетах учтено, что произведение тока, выраженрого в mA на сопротивление в kOм дает напряжение в вольтах (В). .

Для определения внутреннего сопротивления эквивалентного источника следует найти входное сопротивление преобразуемой схемы относительно точек “a” и”b” при условии его “пассивности”. Это означает, что все источники энергии из схемы должны быть удалены, а на их месте остаются внутренние сопротивления этих источников. В данном случае внутреннее сопротивление источника ЭДС е равно нулю, так как это идеальный источник ЭДС, а внутреннее сопротивление источника тока J равно бесконечности, так как это идеальный источник тока. Практически это означает, что на месте этих источников должны стоять: “закоротки” на месте ЭДС и “разрыв” на месте J.