Систем автоматического управления

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

Одним из основных условий работоспособности АСР является ее устойчивость, т.е. способность системы возвращаться в исходное состояние после снятия воздействия, выведшего ее из этого состояния.

Выясним, какими особенностями математического описания систем определяется их устойчивость? Т.е. как по уравнению движения системы определить ее устойчивость?

Возьмем систему с передаточной функцией

.

Уравнение ее движения операторной форме имеет вид

An(p) y = Bm(p) x.

Переходные процессы в этой системе описываются общим решением однородного уравнения An(p) = 0 или

.

Это решение, как известно, имеет вид

, k = 1, …, n.

Здесь — постоянные интегрирования, а представляют собой корни характеристического уравнения

.

Таким образом, переходной процесс представляет собой сумму составляющих, число которых определяется числом корней , т.е. порядком уравнения движения системы.

В общем случае корни являются комплексными, образуя пары сопряженных корней – Z _{k, k+1} = a _k ± j b _k. Каждая пара корней дает свою составляющую общего решения в виде

.

Эти функции представляют собой синусоиды с амплитудами, изменяющимися во времени по экспоненте. При этом, если a _k < 0, то k-я составляющая будет затухать. Наоборот, при a _k > 0 получатся расходящиеся колебания. Если a _k = 0 (мнимые корни), имеем незатухающие стационарные колебания.

Таким образом, необходимым и достаточным условием сходимости переходного процесса и, следовательно, устойчивости системы является отрицательность вещественной части a комплексных корней ее характеристического уравнения.

Следовательно, условием устойчивости линейной системы является расположение всех корней характеристического уравнения (полюсов передаточной функции этой системы) в левой комплексной полуплоскости. Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.

Вычисление корней весьма просто лишь для характеристического уравнения первой и второй степени. Существуют общие выражения для корней уравнений третьей и четвертой степени, но эти выражения громоздки и практически не применяются. Для уравнений более высоких степеней вообще невозможно написать общие выражения для корней через коэффициенты характеристического уравнения.

Поэтому были найдены косвенные правила, позволяющие определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости.

Существует несколько видов критериев устойчивости. Все они математически эквивалентны, так как решают вопрос о знаке вещественной части корней характеристического уравнения. Их разделяют на алгебраические и частотные.

9.2. Алгебраический критерий устойчивости Рауса – Гурвица

Этот алгебраический критерии позволяет судить об устойчивости системы по коэффициентам многочлена

D(p) = a_n pn + a_n-1 pn-1 +... + a₁ p + a₀.

Во-первых, необходимым (но, недостаточным!) условием устойчивости является положительность всех коэффициентов a_n,..., a₀. Если хотя бы один из коэффициентов меньше нуля, то система неустойчива и дальнейшее исследование не имеет смысла. Если a_n>0, a_n-1>0,..., a₀>0, то согласно алгебраическому критерию устойчивости Гурвица система устойчива, если все ее определители больше нуля. Для коэффициентов многочлена составляют квадратную матрицу n х n, по главной диагонали которой записывают все коэффициенты от a_n-1 до a₀и далее заполняют ее, как показано ниже. В случае отсутствия данного коэффициента и если его номер больше n или меньше нуля, на его место проставляют нуль.

На главной диагонали определителя оказываются последовательно все коэффициенты, кроме an.

Определители Гурвица составляют так

D1 = an-1 > 0;

и т.д.

Последний определитель включает всю матрицу. Но каждый последующий определитель может быть вычислен через предыдущий. Так как в устойчивой системе Dn-1 > 0, то положительность последнего определителя обеспечивается, если a₀> 0.

Рассмотрим критерий Гурвица для нескольких конкретных значений n.

Для n = 1 – D(p) = a₁p + a₀, и условие устойчивости сводится к неравенствам

a₁> 0; a₀> 0 .

Для n = 2 – D(p) = a₂p2 + a₁p + a₀,

Условие устойчивости

a₂> 0; a₁> 0; a₀> 0.

Например, звено с передаточной функцией W(p) = k/(T₂²p²+T₁p+1) устойчиво, если перед всеми членами в знаменателе стоит знак плюс.

Если n = 3, то – D(p) = a₃p3 + a₂p2 + a₁p + a₀,

В этом случае условие устойчивости

a₃> 0; a₂> 0;

D₃= a₀D₂> 0.

Если D ₂> 0, то a₀ > 0. Таким образом условие устойчивости сводится к положительности всех коэффициентов и предпоследнего минора D ₂.

В общем случае системы любого порядка необходимым условием устойчивости является требование положительности всех коэффициентов ai. Анализ устойчивости надо начинать с проверки этого простого условия. Если оно не выполняется, то отпадает необходимость в составлении и проверке остальных неравенств.

Для характеристических уравнений невысоких порядков (до 3-го) применение алгебраических критериев достаточно просто. Если же уравнение имеет высокий порядок (n > 4) или система включает звено запаздывания, то применить алгебраические критерии для исследования устойчивости систем затруднительно.

В подобных случаях используют частотные критерии (например, критерий Михайлова).