Следствие из алгоритма Евклида

Если

Доказательство: просматриваем таблицу снизу вверх и из предпоследней строки следует, что из третей снизу мы выражаем и подставляем аналогично изо всех оставшихся строк, в итоге выразим через .

Применение:

Теорема: если p – простое число (делится лишь на 1 на p), то будет полем, все элементы будут обратимыми по умножению и это поле обозначают

Доказательство:

Так как кольца коммутативные и с 1-ей, то поля достаточно проверить, что каждый элемент имеет обратный элемент по умножению. Возьмем , , так как p- простое число, то (они взаимно просты), тогда по следствию из алгоритма Евклида , значит остаток от деления на р элемента , т.е. в кольце , теорема доказана.

Э.Галуа (1811-1831) – придумал термин группа, он фактически ввел конечные поля, дал критерий того, когда уравнение разрешимо в радикалах, а когда нет.

Знаменитая лемма Жардана: Любая замкнутая ломанная без самопересечений разбивает плоскость на 2 части.

Современная элементарная подпись строятся на эллиптических кривых над полями Галуа.

Находим обратимые элементы.

Теорема: Группа обратимых элементов кольца состоит из всех элементов взаимно простых с n.

Если , то - это делитель 0, так как и у него не может быть обратного элемента по умножению, если .

Вопрос: как посчитать количество элементов в группе ? Для этого нам нужна функция Эйлера - количество натуральных чисел меньших n и взаимно простых с n. Если