Моменты инерции тел простой геометрической формы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

(1)

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать величиной, называемой плотностью.

Если тело однородно, то плотность и постоянно во всем объеме V. Тогда и для однородного твердого тела момент инерции можно записать в виде:

-. (2)

При уменьшении сумма перейдет в интеграл.

(3)

Таким образом, моменты инерции однородных тел простой формы можно вычислить с помощью интегрирования по формуле (3). Рассмотрим некоторые примеры.

1. Найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Радиус диска R, его толщина – b.

Разобьем диск на кольцевые слои радиусом r и толщиной dr. Объем такого слоя

-масса диска

В результате получаем следующую формулу для момента инерции диска:

(4)

.Эта же формула справедлива для момента инерции сплошного цилиндра относительно оси совпадающей с осью цилиндра..

2. Найдем момент инерции тонкого обруча относительно оси, перпендикулярной к плоскости обруча и проходящей через его центр. Радиус обруча R,. Ширина обруча d<<R.

Так как d<<R, то r_i=R

(5)

Эта же формула справедлива для тонкостенного цилиндра.

3. Момент инерции тонкого стержня относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину. Длина стержня l, площадь поперечного сечения S.

Выделим малый объем dV, находящийся на расстоянии x от оси и имеющий ширину dx.

Масса стержня .Тогда

(6)

4. Момент инерции шара радиуса R относительно оси проходящей через его центр.

(7)

5) Момент инерции диска радиусом R относительно оси совпадающей с диаметром диска. Толщина диска b (b<<R).

(8)

Эти формулы для моментов инерции относительно оси симметрии.

Момент инерции относительно произвольной оси можно найти с помощью теоремы Штейнера:

Момент инерции относительно произвольной оси О₁О₁ равен сумме момента инерции I₀, относительно оси OO, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.