Графический способ исследования моментов инерции. Круги Мора

Можно показать, что формулы для моментов инерции

І_х= cоs ²α + sin ²α,І_у= cоs ²α + sin ²α., І_ху= sin2α представляют уравнение окружности впараметрической форме. Поэтому вычисление моментов инерции по полученным аналитическим формулам можно заменить графическим определением этих величин в системе координат (І_х, І_у), І_ху, построив круг, называемый кругом инерции.

В графическом способе исследования моментов инерции рассматриваются прямая и обратная задачи.

Прямая задача: известны главные центральные моменты инерции , , требуется графическим способом найти моменты инерции І_х, І_у, І_ху относительно осей х и у, повернутых от главных осей на угол α.

В координатной системе (І_х, І_у), І_ху(рис.2.10) построим круг на диаметре АВ, отложив в масштабе отрезки ОА= , ОВ = . В центре круга С от оси абсцисс отложим центральный угол 2α (α >0, если он откладывается против часовой стрелки), пересечение стороны этого угла с окружностью обозначим через D_х, а диаметрально ей расположенную точку через D_у. Проекции этих точек на ось абсцисс обозначим через К_х,, К_у.

Докажем, что отрезки ОК_х= І_х, ОК_у= І_у, К_хD_х= І_ху.

Из рис.2.10 видно, что ОК_х=ОС + СК_х, ОК_у=ОС – СК_у, ОС=ОВ+ВС,

ВС=АС=СD_х=

, тогда ОС=

, CК_х= СD_хcos2α =

∙cos2α, ОК_х=

∙cos2α = =

Так как 1+cos2α =2 cos²α, 1-cos2α =2sin²α., то

ОК_х= ∙ cos²α + ∙sin²α = І_х,

ОК_у = ∙ sin²α + ∙cos²α = І_у,

D_хК_х= СD_х ∙sin2α =∙sin2α = І_ху

Обратная задача: известны моменты инерции относительно центральных осей

І_х, І_у, І_ху, необходимо определить главные центральные моменты инерции и положение главных центральных осей.

Отложим в масштабе по координатным осям (І_х, І_у), І_ху отрезки ОК_х= І_х, ОК_у= І_у,

К_хD_х = І_ху, К_уD_у = - І_ху(рис.2.11). На отрезке D_ХD_У как на диаметре построим круг и обозначим на оси абсцисс его крайние точки: крайнюю правую точкой А, крайнюю левую тоИз преды-дущей задачи следует: ОА=, ОВ= Найдем значения этих величин, выразив их через отрезки круга: ОА=ОС+СА,

ОВ=ОС-ВС, СА=ВС=СD_Х=,

СК_х= СК_у= ,

тогда

СА=ВС=,

ОС = ОК_у+ СК_у = І_у+= .

Используя значения полученных отрезков, запишем выражения для главных центральных моментов инерции

ОА=I,

ОВ= I.

Из рис. 2.11 следует, что α₀= -α, тогда

tgα₀ =.

2.7 Радиусы и эллипс инерции

Осевые моменты инерции сечения можно представить как произведение площади сечения на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции: І_х == =А, где - радиус инерции относительно осих. Из этого выражения следует, что , . Главным центральным осям будут соответствовать главные радиусы инерции

, .

Выражение=1 представляет уравнение эллипса, полуосями которого являются главные радиусы инерции.

Эллипс, построенный на полуосях, равных главным радиусам инерции, называется эллипсом инерции.

Необходимо отметить, что при построении эллипса отрезки, равные , откладываются по оси у₀, а отрезки, равные , - по оси х₀. Поэтому эллипс инерции всегда вытянут вдоль сечения (рис.2.12), и он не может быть больше сечения, а так же заметно меньше его (рис.2.13).

Для определения момента инерции относительно произвольной оси Х необходимо провести касательную α -α к эллипсу инерции, параллельную этой оси. Перпендикуляр СК, опущенный из центра эллипса С на эту касательную будет равен радиусу инерции, т.е., і _х=СК, I_х=(СК)²А

Х₀

Рис.2.13

3.7 Моменты инерции сложных сечений

При проверке прочности элементов конструкций приходится встречаться с поперечными сечениямидовольно сложной формы, для которых нельзя вычислить моменты инерции таким простым путем, каким пользовались для треугольника, прямоугольника или круга. В этом случае сложное сечение разбивают на простые фигуры, для которых известны площади, координаты центров тяжестей и моменты инерции относительно собственных центральных осей . По формулам (3.1) находят координаты центра тяжести c всего сечения в произвольно выбранных осях x₀,y₀, параллельных центральным осям выделенных элементов. Через центр тяжести c проводят центральные оси сечения u, v, относительно которых вычисляют осевые и центробежный моменты инерции по формулам (3.15). Моменты инерции относительно главных центральных осей определяются по формулам (3.20), а положение главных центральных осей – по формуле (3.18).

Пример. Для заданного сложного поперечного сечения, состоящего из двутавра №18 и уголка 100х100х12, вычислить значения главных центральных моментов инерции ,и положение главных центральных осей u, v.