Тензор инерции

Пусть - декартова система координат, - масса точки, – ее координаты относительно этой системы.

Тензором инерции этой материальной точки называется тензор

.

Легко видеть, что являются координатами тензора.

Действительно, – тензорное произведение радиус-вектора данной точки на себя.

Выражение – инвариант. Действительно, .

Произведение есть тензор ранга 2, как произведение тензора ранга 2 на инвариант. Так как разность тензоров ранга 2 есть тензор ранга 2, а произведение тензора ранга 2 на инвариант есть тензор ранга 2, представляет собой тензор ранга 2. Этот тензор симметрический, так как

.

В подробной записи

Покажем, каким образом можно, зная тензор инерции, найти момент инерции , точки относительно оси , проходящей через начало координат. Пусть ось задана разложением своего единичного направляющего вектора , по ортам осей координат. Покажем, что . Действительно, выражение вправой части (тензор ранга 0) не зависит от системы координат. Повернем оси координат так, чтобы ось Ох_у совпала с осью /. Тогда . Следовательно, , где – есть квадрат расстояния точки от оси . Следовательно, , т.е. есть момент инерции точки относительно оси .

Перейдём к рассмотрению момента инерции системы материальных точек относительно данной оси. Пусть дана система материальных точек заданными массами и координатами . Момент инерции материальных точек относительно оси равен сумме моментов

точек относительно той же оси: .

Производя суммирование, получаем

.

Тензор называется тензором инерции системы материальных точек. Он равен сумме тензоров инерции отдельных точек. Как и тензоры инерции отдельной точки, он является симметрическим тензором.

Для тела с непрерывно распределенной массой

,

где – плотность тела. Заметим, что тензор инерции зависит от начала координат. Обычно рассматривается система координат с началом в центре масс.

Пример. Найти тензор инерции однородного диска массы и радиуса относительно системы координат, начало которой находится в центре диска, а ось Oz перпендикулярна к его плоскости. Найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр и образующей с плоскостью диска угол 45°.

Решение. Обозначим через поверхностную плотность диска. Введём на плоскости диска полярную систему координат с полюсом в центре диска (см. чертёж). Тогда

Для любой точки диска .

Следовательно,

.

Легко проверить, что .

Получаем матрицу

При нахождении можно поместить ось в плоскость .

Тогда .

Следовательно, .