Кольцо матриц

Пусть К – произвольное кольцо. Например или кольцо многочленов. Через обозначим множество матриц размером , элементами которых являются элементы кольцо К

На множестве матриц введем операции сложения и умножения .

Так как в кольце К есть коммутативность сложения, значит сложение матриц тоже коммутативное, так как в кольце в кольце есть ассоциативность сложения, то и а кольце матриц тоже есть ассоциативность. Если 0 – нейтральный элемент по сложению в кольце К, то нулевая матрица она же является и нейтральной по сложению.

Умножение

, - элемент стоящий в i-ой строке и j-ом столбце матрице С и полученный при произведении I – ой строки A и j- го столбца матрицы В даже если кольцо К коммутативное по умножению, кольцо матриц всегда не коммутативно!

В кольце матриц есть ассоциативность по умножению, т.е.

Ассоциативность умножения матриц.

Пользуясь тем, что в кольце коэффициентов выполняется законы дистрибутивности и ассоциативности, мы можем раскрыть все скобки(оставить только сумму по 3 элемента) у нас получатся одни и те же слагаемые, только в разном порядке

При доказательстве ассоциативности умножения матриц нами использовались дистрибутивность(правая и левая), ассоциативность умножения, коммутативность сложения.

Примеры колец многочленов и колец матриц.