Векторное пространство

С точки зрения математики любой материальный объект – это элемент множества, на котором заданы алгебраические операции или отношения.

Вектор – это элемент векторного пространства.

Векторное пространство (V) – это множество, на котором задана алгебраическая операция, называемая обычно сложением, относительно которой V – коммутативная группа.

P – поле. Задано действие поля Р на элементы коммутативной группы V

Временно действие будем обозначать «*», а «+» -это обычное сложение.

4 аксиомы векторного пространства:

Векторным пространством над полем Р называется коммутативная группа, над которой задано действие поля (Р).

Примеры:

Если рассмотреть многочлен , в качестве действия выбрать умножение многочлена на элемента поля Р, а в качестве сложения выбрать обычно сложение многочлена, то у нас получится векторное пространство.

Рассмотрим матрицы с коэффициентами в поле Р. В качестве сложения возьмем обычное сложение матриц, а в качестве действия возьмем умножение матриц на элементы поля. , m=1, получится матрица – строка.

Матрицы-строки тоже образуют векторное пространство. Аналогично и с матрицами-столбцами.

С точки зрения математики с точностью обозначения конечные векторные пространства исчерпываются пространствами строк, столбцов.

Следствия из аксиом векторного пространства.

1)

Доказать, используя 4 аксиомы действия.

- по 3 аксиоме. добавим к обеим частям обратный по сложению .

2) и опять прибавим обратный по сложению

Если - некоторое множество векторов, то любая запись из называется линейной комбинацией векторов.

Вектора называются линейно не зависимыми, если из того, что следует, что .

Вектора называются линейно зависимыми, если нетривиальная линейная комбинация этих векторов равна 0.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов:

1) Любое множество векторов, содержащее является линейно зависимо.

Доказательство:

2) Если множество векторов линейно зависимо, тои любое его расширенное множество тоже линейно зависимо.

Доказательство: все добавленные векторы добавляем в сумму с коэффициентами 0

Следствие: если множество векторов линейно независимо, то и его любое подмножество линейно независимо.

Базис векторного пространства множество называется порождающим, если , такое что

Базисом называется любое порождающее множество, состоящее из линейно независимых векторов.

Алгоритм получения базиса из порождающего множества:

Шаг №1 если , то мы его отбрасываем. Если , то оставляем.

Шаг №2 если линейно зависимы, тогда или выражается через то отбрасываем, а если линейно независимы тогда оставляем без изменений.

Не позже, чем на n – ом шаге у нас останется множество векторов линейно независимых, но свойство – быть порождаемым у него останется.

Если выражается линейно, через векторы , то соответствующие коэффициенты называются его координатами .

Если порождающее множество является базисом, то координаты единственные.

Доказательство:

Пусть у вектора есть вторые координаты. Назовем их , получится коэффициенты равны 0. .