Метод ПАР (приближенных автомодельных решений)

Установлено, что асимптотики эволюционных процессов в определенных классах открытых нелинейных сред, т.е. структуры-аттракторы, описываются инвариантно-групповыми решениями.

Поскольку в инвариантах пространство и время не свободны, а определенным образом связаны друг с другом, постольку мы переходим к пространственно-временному описанию процессов, протекающих в сложных системах. На асимптотических стадиях рост величин по времени (рост населения, капитала, знаний, научной информации) тесно увязана с пространственным распределением этих процессов (с урбанизацией, распределением капитала, центрами криссталлизации знания).

Мы считаем, что математическая модель сложных систем должна обладать сложным спектром аттракторов, т.е. структур, которые возникают на развитых, автомодельных (т.е. самоподобных, сохраняющих при эволюции свою форму) стадиях процессов. Основная проблема заключается в том, чтобы найти тип уравнений, которые допускают сложный спектр аттракторов. Иначе говоря, какие типы нелинейности делают возможным существование сложного спектра аттракторов? Как уже отмечалось, это — уравнения со степенными нелинейными зависимостями.

Это утверждение удается проверить на достаточно широких классах зависимости коэффициента теплопроводности от температуры k(T) и источника от температуры Q(T). В работах В.А.Галактионова и А.А.Самарского показано, что если сами уравнения со сложной зависимостью коэффициентов от температуры не допускают инвариантно-групповых решений, на развитых стадиях (при времени, стремящемся к времени обострения) уравнения вырождаются в такие, которые допускают инвариантно-групповые решения. (Три типа вырожденных уравнений, описывающих асимптотическую стадию — это уравнения с экспоненциальными и степенными зависимостями и уравнения класса Гамильтона-Якоби). Если речь идет об асимптотическом описании, об описании развитых автомодельных стадий процессов, то с некоторого класса уравнений решения сходятся к инвариантно-групповым решениям и среди них лишь степенные автомодельные решения допускают сложный спектр собственных функций (структур-аттракторов), т.е. только при k(T)= k 0 T s и Q(T)=Q 0 T b.