Четыре субрежима действия тепловой машины (цикл Карно)

Численные значения эффективностей, определенных в (3) – (6), существенно зависят от характера квазистатических процессов, реализующих соответствующие циклы, и лишь в особом случае, называемом циклом Карно, эффективности (3) – (6) имеют оптимальные значения, выражающиеся только через отношение температур Т ^–/ Т ⁺<1 холодильника и нагревателя. Переход от величин «теплот» Q ^– и Q ⁺ к температурам Т ^– и Т ⁺ проводится на основе соотношения (2), которое, в свою очередь, легко получить, используя диаграмму цикла Карно на фазовой плоскости энтропия S – температура T, где эта диаграмма имеет вид прямоугольника со сторонами (Т ⁺– Т ^–) и (S ⁺– S ^–).

Это значительно удобнее, чем диаграмма того же цикла Карно на фазовой плоскости давление P – объем V, где требуется знать вид уравнений P (V) для изотермы и адиабаты рабочего тела. Правда, в силу универсальности тепловой машины можно использовать в качестве рабочего тела идеальный газ с хорошо известными уравнениями P (V), но в любом случае S–T диаграмма для цикла Карно удобнее и проще, чем P–V диаграмма.

Нетрудно подсчитать, что площадь прямоугольного цикла А =(Т ⁺– Т ^–)(S ⁺– S ^–) равна Q ^–+ Q ⁺, илис учетом равенства (1), А = W; здесь учтено, что согласно соотношению Клаузиуса T d S =δ Q в двух изотермических процессах (при Т = Т ⁺и Т = Т ⁻) теплоты равны Q ⁺= Т ⁺(S ⁺– S ^–) и Т ^–(S ^–– S ⁺)= Q ^–. Геометрический факт максимальностиплощади А при заданных значениях (Т ⁺, S ⁺) и (Т ^–, S ^–) объясняет максимальность работы W в цикле Карно, причем знак W зависит от направления обхода фазовой диаграммы цикла Карно.

Наконец, сложив два изотермических изменения энтропии в цикле Карно (два адиабатических изменения, по определению, равны нулю) получим соотношение (2) в виде (S ⁺– S ^–)+(S ^–– S ⁺)≡0=(Q ⁺/ Т ⁺)+(Q ^–/ Т ^–), что дает ключевое соотношение Q ^–/ Q ⁺=– Т ^–/ Т ⁺. С его помощью для всех эффективностей (3) – (6) получаем следующие выражения:

ξ= Т ^–/ Т ⁺, η=1–ξ=1− Т ^–/ Т ⁺=Δ Т / Т ⁺, θ=1/η= Т ⁺/Δ Т, χ=θ−1=θξ=ξ/η, (7)

где использовано понятие перепада температур Δ Т = Т ⁺− Т ⁻>0 между нагревателем и холодильником; напомним, что, по условию, величина Δ Т всегда строго положительна.

Согласно результирующим соотношениям (7), максимально возможные значения эффективностей тепловой машины ξ, η=1−ξ, θ=1/η, χ=θ−1 в цикле Карно не зависят от природы рабочего тела, а определяются лишь температурами Т ⁺ и Т ^–. Кроме того, четыре величины ξ, η, θ, χ удовлетворяют трем соотношениям – например, ξ+η=1, θ−χ=1, θ=1/η, откуда следует, что независимой величиной является лишь одна – например, ξ= Т ^–/ Т ⁺.

Как видно из (7), эффективность η в субрежиме теплового двигателя, обычно называемая КПД, всегда меньше единицы, но тем ближе к ней, чем больше перепад температур Δ Т; формально говоря, η=1 в случае Т ^–=0, когда Δ Т=Т ⁺, однако этот случай нереализуем в силу 3-го начала ТД. Интересно, что согласно (7) для эффективности θ в субрежиме обратного теплового насоса величина θ, наоборот, всегда превышает единицу, причем тем сильнее, чем меньше Δ Т.

Заметим, что при малых значениях Δ Т имеем обычно η«1, так что θ»1 и χ≈θ; особенно интересно, что при η«1 имеем ξ≈1, что означает почти 100%-ную эффективность тепловой машины в субрежиме прямого теплового насоса. Это неудивительно, поскольку перенос теплоты идет в «естественном» направлении – от нагревателя к холодильнику при минимальном (но все же ненулевом) перепаде Δ Т. Ясно, что учет неидеальности тепловой машины и неквазистатичности ее действия всегда приводит лишь к понижению реального КПД; для большинства реальных технических устройств он не превышает 0,3÷0,4, т.е. 30÷40%.