2015-05-27
1278
Предприятие может выпускать три вида продукции А1,А2, А3, получая прибыль, зависящую от спроса на эту продукцию. Спрос, в свою очередь, может принимать одно из четырех состояний В1, В2, В3, В4. В матрице элементы аi k характеризуют прибыль, которую получает предприятие при выпуске продукции Аi и состоянии спроса Вk.
 |
1. Варианты индивидуального задания (подставить значения элементов в платежную матрицу)
| № | а11 | а12 | а13 | а14 | а21 | а22 | а23 | а24 | а31 | а32 | а33 | а34 |
Ход работы:
Задание 1
1. Определить оптимальные пропорции в выпускной продукции, считая состояние спроса полностью неопределенным. Гарантируя при этом среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.
2. Представить задачу как матричную игру двух лиц (предприятие - спрос) с нулевой суммой.
3. Исключить заведомо невыгодные стратегии игроков.
4. Найти оптимальные стратегии и цену игры сведением игры к паре симметричных двойственных задач линейного программирования.
|
|
|
5. Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции.
6. Выполнить анализ результата.
| Стратегии игрока B | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | ||
| Стратегии игрока A | A1 | ||||
| A2 | |||||
| A3 |
Стратегия A3 является доминирующей над стратегией A2, поэтому удаляем стратегию A2 из рассмотрения.
| Стратегии игрока B | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | ||
| Стратегии игрока A | A1 | ||||
| A3 |
Стратегия B2 является доминирующей над стратегией B3. Удаляется стратегия B3 из рассмотрения.
| Стратегии игрока B | ||||
| B1 | B2 | B4 | ||
| Стратегии игрока A | A1 | |||
| A3 |
Стратегия А3: нижняя цена игры = 3;
Стратегия В1: нижняя цена игры = 4;
Оптимальное решение на основании чистых стратегий не найдено.
P*=(p*1,0,p*3);
Q*=(q*1,q*2,0,q*4).
Значения цены игры: 3 
v 4 – цена игры положительная.
Если P*=(p*1,0,p*3) и Q*=(q*1,q*2,0,q*4)являются оптимальным решением, то должны выполняться две следующие системы неравенств:
2p*1+ 4p*3 
v
5p*3 v1
4p*1+ 3p*3 v
и
2q*1+ 4q*4 v
4q*1+ 5q*2+ 3q*4 v
Требуется найти минимум линейной функции
F = y1 + y2
при следующей системе ограничений:
2y1+4y2 1
5y2 1
4y1+3y2 1
Требуется найти максимум линейной функции
L = x1 + x2 + x3
при следующей системе ограничений:
2x1+4x3 1
4x1+5x2+3x3 1
Полученные задачи являются парой симметричных взаимно двойственных задач. Для решения воспользуемся симплекс-методом, реализованного в виде надстройки Excel Поиск решений.
Решение для первой задачи
| Переменные | |||||
| y1 | y2 | y3 | |||
| 0,10 | 0,20 | 0,00 | |||
| Матрица коэффициентов | Ограничения | ||||
| системы неравенств | Левая часть | Правая часть | |||
| Неравенство 1 | |||||
| Неравенство 2 | |||||
| Неравенство 3 | |||||
| Матрица коэффициентов | |||||
| целевой функции | |||||
| Решение | y1=0,1; | y2=0,2 | F=0,3 | 0,30 |
Решение для второй задачи
|
|
|
| Переменные | |||||
| Х1 | Х2 | Х3 | |||
| 0,10 | 0,00 | 0,20 | |||
| Матрица коэффициентов | Ограничения | ||||
| системы неравенств | Левая часть | Правая часть | |||
| Неравенство 1 | |||||
| Неравенство 2 | |||||
| Неравенство 3 | |||||
| Матрица коэффициентов | |||||
| целевой функции | |||||
| Решение | x1=0,1 | X3=0,2 | L=0,3 | 0,30 |
Максимальное значение функции прямой задачи равно минимальному значению функции двойственной задачи.
Найдем цену игры v.
V=1/F=1/L=1/0,33=3,03
Найдем оптимальное решение игры:
Цена игры v=3,03.
Вероятности стратегий игрока А.
p*1=y1*v=0,1*3,03=0,303;
p*2=0;
p*3=y2*v=0,2*3,03=0,606;
P*=(0,303;0;0,606);
Вероятности стратегий игрока А.
q*1=x1*v=0,1*3,03=0,303;
q*2= x2*v=0*3,03=0;
q*3=0;
q*4= x3*v=0,2*3,03=0,606;
Q*=(0,303;0;0;0,606);
Анализ результата решения задач:
Выигрыш предприятия составит 3,03 единиц при аналогичной величине спроса (игра с нулевой суммой).
Предприятия используют свои стратегии след. образом:
· А1 на 33%
· А2 на 0%
· А3 на 67%
Стратегии спроса:
· B1 на 33%
· B2 на 0
· B3 на 0
· B4 на 67%
Задание 2
1. Изменить в платежной матрице любые три элемента на отрицательные значения.
2. Исключить заведомо невыгодные стратегии игроков.
3. Преобразовать матрицу, чтобы цена игры была положительной.
4. Найти оптимальные стратегии и цену игры сведением игры к паре симметричных двойственных задач линейного программирования.
5. Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции.
6. Выполнить анализ результата.
| Стратегии игрока B | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | ||
| Стратегии игрока A | A1 | ||||
| A2 | |||||
| A3 |
После изменения
| Стратегии игрока B | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | ||
| Стратегии игрока A | A1 | ||||
| A2 | |||||
| A3 | -4 | -6 | -3 |
Стратегия A2 является доминирующей над стратегией A3, т.к. каждый элемент строки 2 больше или равен соответствующего элемента строки.
| Стратегии игрока B | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | ||
| Стратегии игрока A | A1 | ||||
| A2 |
Стратегия B2 является доминирующей над стратегией B3. Удаляется стратегия B3 из рассмотрения.
| Стратегии игрока B | ||||
| B1 | B2 | B4 | ||
| Стратегии игрока A | A1 | |||
| A2 |
Стратегия B2 является доминирующей над стратегией B4. Удаляется стратегия B4 из рассмотрения.
| Стратегии игрока B | |||
| B1 | B2 | ||
| Стратегии игрока A | A1 | ||
| A2 |
Стратегия А1: нижняя цена игры = 0;
Стратегия В1: верхняя граница игры = 2.
Оптимальное решение на основании чистых стратегий не найдено.
P*=(p*1,p*2,0);
Q*=(q*1,q*2,0,0).
Значения цены игры: 0 v 2 – цена игры положительная.
Если P*=(p*1,p*2,0) и Q*=(q*1,q*2,0,0) являются оптимальным решением, то должны выполняться две следующие системы неравенств:
2p*1+ 3p*2 v
5p*2 v1
и
2q*1 v
3q*1+ 5q*2 v
Требуется найти минимум линейной функции
F = y1 + y2
при следующей системе ограничений:
2y1+3y2 1
5y2 1
Требуется найти максимум линейной функции
L = x1 + x2 + x3
при следующей системе ограничений:
2x1 1
3x1+5x2 1
Полученные задачи являются парой симметричных взаимно двойственных задач. Для решения воспользуемся симплекс-методом, реализованного в виде надстройки Excel Поиск решений.
Решение для первой задачи
| Переменные | |||||
| у1 | у2 | у3 | |||
| 0,00 | 0,33 | ||||
| Матрица коэффициентов | Ограничения | ||||
| системы неравенств | Левая часть | Правая часть | |||
| Неравенство 1 | |||||
| Неравенство 2 | |||||
| Неравенство 3 | |||||
| Матрица коэффициентов | |||||
| целевой функции | |||||
| Решение | у2=0,33 | F=0,33 | 0,33 |
Решение для второй задачи
|
|
|
| Переменные | |||||
| Х1 | Х2 | Х3 | |||
| 0,33 | 0,00 | ||||
| Матрица коэффициентов | Ограничения | ||||
| системы неравенств | Левая часть | Правая часть | |||
| Неравенство 1 | |||||
| Неравенство 2 | |||||
| Неравенство 3 | |||||
| Матрица коэффициентов | |||||
| целевой функции | |||||
| Решение | x1=0,33 | L=0,33 | 0,33 |
Максимальное значение функции прямой задачи равно минимальному значению функции двойственной задачи.
Найдем цену игры v.
V=1/F=1/L=1/0,33=3,03
Найдем оптимальное решение игры:
Цена игры v=3,03.
Вероятности стратегий игрока А.
p*1=y1*v=0*3,03=0;
p*2=y2*v=0,33*3,03=1;
p*3=0;
P*=(0;1;0);
Вероятности стратегий игрока А.
q*1=x1*v=0,33*3,03=1;
q*2= x2*v=0*3,03=0;
q*3=0;
q*4=0;
Q*=(1;0;0;0);
Анализ результата решения задач:
Выигрыш предприятия составит 3,03 единиц при аналогичной величине спроса (игра с нулевой суммой).
Предприятия используют свои стратегии след. образом:
· А1 на 0%
· А2 на 100%
· А3 на 0%
Стратегии спроса:
· B1 на 100%
· B2 на 0
· B3 на 0
· B4 на 0%
Вывод: в данной лабораторной работе было найдено решение матричной игры в смешанных стратегиях, представленной моделью задачи линейного программирования.
