Множество Мандельброта

Рассмотрим набор множеств Жюлиа и зададимся вопросом: связно ли данное конкретное множество Жюлиа? Пусть M – множество всех множеств Жюлиа, которые связны. Это множество и называется множеством Мандельброта.

Теперь возьмем любое множество Жюлиа J, и комплексное число c, которое его породило. Если J содержится в M, то изобразим точку черным на комплексной плоскости, в противном случае белым. Это и дает нам того “своеобразного снеговика“, которого вы уже наверное видели миллион раз. Его - то мы и будем генерировать.

К счастью, есть более легкий путь изображения множества Мандельброта, чем рисование каждого множества Жюлия и выяснения, связно ли оно. Наш метод будет очень близок к построению множеств Жюлиа. Опять рассмотрим итерационную последовательность для любого k, и выясним, сходится ли она к нулю.

Zi+1= Zi² + c

Заметим, что c здесь уже не константа. Для любой точки комплексной плоскости мы c присваиваем значение k и выполняем итерации. Этот метод, как ни странно, дает нам то же изображение множества Мандельброта.

Этот итеративный процесс можно проиллюстрировать на примере.

Для начала пусть z0 = 0 + 0i = 0, а c = 0,2 + 0,4i. Тогда z1 рассчитывается следующим образом:

Чтобы вычислить z2, подставляем z1 в рекуррентное соотношение:

Чтобы вычислить z3, выполняется аналогичная итерация z2:

Этот итеративный процесс продолжается с целью определить, стало ли значение zn неограниченным или нет. Например, после 194 итераций получилось, что z192 ≈ z193 ≈ zn ≈ 0,024020542767376 + 0,420186201234005i. Таким образом, можно утверждать, что для данного значения c (0,2+0,4i) значение zn остается ограниченным.

Для того чтобы определить, стало ли значение zn неограниченным, обычно анализируется абсолютное значение zn. Абсолютное значение (или модуль) комплексного числа x + yi, обозначаемое |z|, определяется следующим образом:

Как видно, абсолютное значение комплексного числа всегда является неотрицательным вещественным значением. Например, абсолютное значение z193 будет следующим:

Так как значение zn установилось около 0,4209, по-видимому, |zn| не стремится к бесконечности для данного значения c (то есть, 0,2 + 0,4i).

Учитывая это, можно вывести простое определение множества Мандельброта: множество Мандельброта состоит из совокупности точек c в комплексной плоскости, для которой определенная в ходе итеративного процесса последовательность:

остается ограниченной. То есть комплексное число c принадлежит множеству Мандельброта, если начиная с z0 = 0 и в процессе многократных итераций абсолютное значение zn не стремится к бесконечности при любых сколь угодно больших n.

Один из простейших способов визуализации этого весьма сложного множества — представить значение c каждой точкой на комплексной плоскости и провести итерацию рекуррентного соотношения с данным значением c, чтобы определить, принадлежит ли c множеству Мандельброта или нет. То есть, соответственно, узнать, остается ли значение |zn| ограниченным или |zn| стремится к бесконечности.

Теперь для каждой точки c = x + yi = (x, y) на комплексной плоскости используем описанный выше итеративный процесс, чтобы определить, стремится ли |zn| к бесконечности. Если это значение уходит в бесконечность, выделим точку, связанную с c, белым цветом. В противном случае обозначим эту точку черным цветом. В результате получим изображение,