double arrow

Прибора с линейной функцией преобразования

2

Как уже отмечалось, линейная функция преобразования вида Y=S·X присуща большинству измерительных приборов. При этом результирующая погрешность на выходе прибора Y (в единицах выходной величины Y) может возникать:

- во-первых, за счёт наложения на входную измеряемую величину X некоторой неконтролируемой величины ∆X (например, шумы или наводки);

- во-вторых, из-за наличия аналогичной ∆X погрешности ∆Y на выходе прибора (например, в случае дискретного характера представления выходного сигнала Y);

- в-третьих, за счёт малых неконтролируемых изменений (нестабильности) ∆S чувствительности измерительного прибора S.

Причем ∆X<<X, ∆Y<<Y, ∆S<<S. С учетом этих факторов значение Y* на выходе преобразователя измерительного прибора, очевидно, будет отличаться от теоретического значения Y на величину Y:

Y*=Y+∆Y=(S+∆S)(X+∆X)+∆Y=S·X+S·∆X+∆S·X+∆S·∆Y+∆Y

Пренебрегая множителем ∆S·∆Y,полученное выражение можно записать в виде:

Y*=Y+∆Y=S·X+∆S·X+S·∆X+∆Y

Очевидно, действительное значение измеряемой величины составляет X*=Y*/S. В связи с этим, разделив полученное выше выражение на S, получим выражение для X*, а именно:

X*=X+∆Y/S=X+(∆X+∆Y/S)+∆S·X/S=X+∆0S·X

В полученном выражении:

- Y/S – абсолютная погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины;

- 0=∆X+∆Y/S – составляющая абсолютной погрешности измерения, не зависящая от значения измеряемой величины. Подобные погрешности называют аддитивными[1];

- δS·X=(∆S/S)·X – составляющая абсолютной погрешности, являющаяся произведением относительной погрешности прибора на значение измеряемой величины. Подобные погрешности, величина которых растёт с ростом значения измеряемой величины, называются мультипликативными[2].

Итак, в случае линейной функции преобразования измерительного прибора абсолютная погрешность измерения составляет:

∆=∆0S·X

Из полученного выражения следует, что с ростом значения измеряемой величины Х абсолютная погрешность измерения увеличивается (см. рис 4а). Однако, вывод о снижении точности измерений в этом случае был бы неверен.

Действительно, точность измерений характеризует относительная погрешность. Как известно, относительная погрешность определяется выражением:

δ=∆/X=∆0/X+δS

Характер зависимости относительной погрешности δ и её составляющих от значения измеряемой величины изображён на рисунке 4б.

Как следует из рисунка 4б мультипликативная составляющая относительной погрешности – погрешность чувствительности измерительного прибора δS, не зависит от значения измеряемой величины, а аддитивная составляющая 0/X оказывается обратно пропорциональной Х. Таким образом, при линейной функции преобразования точность измерений повышается с ростом значений измеряемой величины.

Рис 4. Зависимость абсолютной и относительной погрешности измерений

от значения Х

Из последнего заключения следует важная практическая рекомендация: при прочих равных условиях для повышения точности измерений необходимо так выбирать предел измерений прибора, чтобы значение измеряемой величины находилось как можно ближе к его верхнему пределу.

Реально, погрешности измерения конкретного прибора обычно бывают заданы лишь в виде некоторых допустимых (предельных) значений или δ.

Например, в техническом описании цифрового частотомера (с линейной функцией преобразования) может быть указано, что основная погрешность измерения частоты не превышает предела, который может быть задан в абсолютных значениях:

∆=±(10+10-6·fx) Гц

где: первое слагаемое – аддитивная погрешность, а второе слагаемое - мультипликативная погрешность.

Предел погрешности может быть задан либо в относительных значениях:

δ=±(10-4+103/fx) %

где: вначале указана мультипликативная составляющая погрешности, а за ней - аддитивная составляющая погрешности.

В этом случае выходную величину Y следует считать связанной с измеряемой величиной X соотношением:

Y=S·(X±∆)

В этом выражении увеличивается с ростом Х из-за мультипликативной составляющей погрешности.

При этом для группы приборов характеристика преобразования, вместо номинальной зависимости Y=S·X в виде прямой линии, будет представляться множеством прямых, расположенных в расширяющейся зоне шириной 2·∆ (см. рис. 5).

Рис. 5. Область неопределённости измерений

Эта зона, выделенная на рисунке 5 серым тоном, характеризует область неопределенности измерений, то есть неопределенности наших знаний о действительном значении Х.

Поскольку минимальная ширина этой полосы равна ±∆0, ясно, что значения измеряемой величины Х, удовлетворяющие неравенству Х<∆0,с помощью прибора не возможно достоверно отличить от нуля. Таким образом, минимально различимым значением, на которое достоверно реагирует прибор, является Хп=∆0. Это значение, определяемое величиной аддитивной погрешности, называется порогом чувствительности данного измерительного прибора Хп.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  


2

Сейчас читают про: