Как уже отмечалось, линейная функция преобразования вида Y=S·X присуща большинству измерительных приборов. При этом результирующая погрешность на выходе прибора ∆Y (в единицах выходной величины Y) может возникать:
- во-первых, за счёт наложения на входную измеряемую величину X некоторой неконтролируемой величины ∆X (например, шумы или наводки);
- во-вторых, из-за наличия аналогичной ∆X погрешности ∆Y на выходе прибора (например, в случае дискретного характера представления выходного сигнала Y);
- в-третьих, за счёт малых неконтролируемых изменений (нестабильности) ∆S чувствительности измерительного прибора S.
Причем ∆X<<X, ∆Y<<Y, ∆S<<S. С учетом этих факторов значение Y* на выходе преобразователя измерительного прибора, очевидно, будет отличаться от теоретического значения Y на величину ∆Y:
Y*=Y+∆Y=(S+∆S)(X+∆X)+∆Y=S·X+S·∆X+∆S·X+∆S·∆Y+∆Y
Пренебрегая множителем ∆S·∆Y,полученное выражение можно записать в виде:
Y*=Y+∆Y=S·X+∆S·X+S·∆X+∆Y
|
|
Очевидно, действительное значение измеряемой величины составляет X*=Y*/S. В связи с этим, разделив полученное выше выражение на S, получим выражение для X*, а именно:
X*=X+∆Y/S=X+(∆X+∆Y/S)+∆S·X/S=X+∆0+δS·X
В полученном выражении:
- ∆Y/S – абсолютная погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины;
- ∆0=∆X+∆Y/S – составляющая абсолютной погрешности измерения, не зависящая от значения измеряемой величины. Подобные погрешности называют аддитивными[1];
- δS·X=(∆S/S)·X – составляющая абсолютной погрешности, являющаяся произведением относительной погрешности прибора на значение измеряемой величины. Подобные погрешности, величина которых растёт с ростом значения измеряемой величины, называются мультипликативными[2].
Итак, в случае линейной функции преобразования измерительного прибора абсолютная погрешность измерения составляет:
∆=∆0+δS·X
Из полученного выражения следует, что с ростом значения измеряемой величины Х абсолютная погрешность измерения ∆ увеличивается (см. рис 4а). Однако, вывод о снижении точности измерений в этом случае был бы неверен.
Действительно, точность измерений характеризует относительная погрешность. Как известно, относительная погрешность определяется выражением:
δ=∆/X=∆0/X+δS
Характер зависимости относительной погрешности δ и её составляющих от значения измеряемой величины изображён на рисунке 4б.
Как следует из рисунка 4б мультипликативная составляющая относительной погрешности – погрешность чувствительности измерительного прибора δS, не зависит от значения измеряемой величины, а аддитивная составляющая ∆0/X оказывается обратно пропорциональной Х. Таким образом, при линейной функции преобразования точность измерений повышается с ростом значений измеряемой величины.
|
|
Рис 4. Зависимость абсолютной и относительной погрешности измерений
от значения Х
Из последнего заключения следует важная практическая рекомендация: при прочих равных условиях для повышения точности измерений необходимо так выбирать предел измерений прибора, чтобы значение измеряемой величины находилось как можно ближе к его верхнему пределу.
Реально, погрешности измерения конкретного прибора обычно бывают заданы лишь в виде некоторых допустимых (предельных) значений ∆ или δ.
Например, в техническом описании цифрового частотомера (с линейной функцией преобразования) может быть указано, что основная погрешность измерения частоты не превышает предела, который может быть задан в абсолютных значениях:
∆=±(10+10-6·fx) Гц
где: первое слагаемое – аддитивная погрешность, а второе слагаемое - мультипликативная погрешность.
Предел погрешности может быть задан либо в относительных значениях:
δ=±(10-4+103/fx) %
где: вначале указана мультипликативная составляющая погрешности, а за ней - аддитивная составляющая погрешности.
В этом случае выходную величину Y следует считать связанной с измеряемой величиной X соотношением:
Y=S·(X±∆)
В этом выражении ∆ увеличивается с ростом Х из-за мультипликативной составляющей погрешности.
При этом для группы приборов характеристика преобразования, вместо номинальной зависимости Y=S·X в виде прямой линии, будет представляться множеством прямых, расположенных в расширяющейся зоне шириной 2·∆ (см. рис. 5).
Рис. 5. Область неопределённости измерений
Эта зона, выделенная на рисунке 5 серым тоном, характеризует область неопределенности измерений, то есть неопределенности наших знаний о действительном значении Х.
Поскольку минимальная ширина этой полосы равна ±∆0, ясно, что значения измеряемой величины Х, удовлетворяющие неравенству Х<∆0,с помощью прибора не возможно достоверно отличить от нуля. Таким образом, минимально различимым значением, на которое достоверно реагирует прибор, является Хп=∆0. Это значение, определяемое величиной аддитивной погрешности, называется порогом чувствительности данного измерительного прибора Хп.